[論文レビュー] Arc-descent for the perfect loop functor and $p$-adic Deligne--Lusztig spaces

Alexander B. Ivanov|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、非アーチメデス的局所体上の準射影的スキームにおける完全ループ関手 $LX$ に対して、arc-descent を確立し、$LX$ が arc-シャーフであることを証明するとともに、非分岐再帰的群の場合の $LG \to L(G/B)$ における $v$-位相的全射性を拡張する。また、$p$-進デリーニュ＝ルシュチグ空間 $X_w(b)$ の新たな、良好な性質を持つ定義を導入し、多くの場合にそのインダクティブ表現可能性を示し、その被覆空間 $\.X_{\dot{w}}(b)$ が閉開部分集合上でのpro-étale torsorであることを示す。

ABSTRACT

We prove that the perfect loop functor $LX$ of a quasi-projective scheme $X$ over a local non-archimedean field $k$ satisfies arc-descent, strengthening a result of Drinfeld. Then we prove that for an unramified reductive group $G$, the map $LG ightarrow L(G/B)$ is a $v$-surjection. This gives a mixed characteristic version (for $v$-topology) of an equal characteristic result (in étale topology) of Bouthier--Česnavičius. In the second part of the article, we use the above results to introduce a well-behaved notion of Deligne--Lusztig spaces $X_w(b)$ attached to unramified $p$-adic reductive groups. We show that in various cases these sheaves are ind-representable, thus partially solving a question of Boyarchenko. Finally, we show that the natural covering spaces $\dot X_{\dot w}(b)$ are pro-étale torsors over clopen subsets of $X_w(b)$, and analyze some examples.

研究の動機と目的

• 準射影的スキーム $X$ に対して、$\mathbb{Q}_p$ 上の完全ループ関手 $LX$ における arc-descent を確立すること。
• 非分岐再帰的群 $G$ に対して、写像 $LG \to L(G/B)$ が $v$-全射であることを証明し、等特徴的結果を混合特徴的へ拡張すること。
• $v$-位相において、$p$-進デリーニュ＝ルシュチグ空間 $X_w(b)$ の新たな、良好な性質を持つ定義を導入すること。
• これらの空間がさまざまな場合にインダクティブ表現可能であることを示し、ボーイアルチェンコの問いに応えること。
• 被覆空間 $\dot{X}_{\dot{w}}(b)$ が $X_w(b)$ の閉開部分集合上での pro-étale torsor であることを分析すること。

提案手法

• perfect $R$ に対して、$W(R)[p^{-1}]$ 上のベクトル bundle が $R$ に関して arc-stack をなすことを証明し、[SW20] の完全体的技法を用いる。
• 開埋め込みおよび閉埋め込みの性質とベクトル bundle の振る舞いを分析することにより、準射影的 $X$ における $LX$ の arc-descent を導出する。
• ${\rm Spec}\, A$ が価値環のスペクトルの互いに交わらない和集合であるとき、すべての有限局所自由 $W(A)[p^{-1}]$-加群が自由であることを示す。
• $LG \to L(G/B)$ の $v$-位相的全射性を用い、幾何的フロベニウスのグラフと $b$ による左乗法のカルテシアン図式を用いて $X_w(b)$ を定義する。
• ループ空間の構造とその被覆空間を分析することにより、$X_w(b)$ のインダクティブ表現可能性を確立する。
• Lang 写像と $G_0(k)$ の作用を分析することにより、$\dot{X}_{\dot{w}}(b) \to X_w(b)$ が pro-étale torsor であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全ループ関手 $LX$ は、$\mathbb{Q}_p$ 上の準射影的スキームに対して arc-descent を満たすか？
• RQ2 $LG \to L(G/B)$ は、非分岐再帰的群 $G$ に対して $v$-全射か？
• RQ3 $v$-位相において、well-defined な $p$-進デリーニュ＝ルシュチグ空間 $X_w(b)$ の定義を構成できるか？
• RQ4 これらの $X_w(b)$ は自然な場合にインダクティブ表現可能か、特に $b=1$ の場合か？
• RQ5 被覆空間 $\dot{X}_{\dot{w}}(b)$ は、$X_w(b)$ の閉開部分集合上での pro-étale torsor か？

主な発見

• 任意の $\mathbb{Q}_p$ 上の準射影的スキーム $X$ に対して、完全ループ関手 $LX$ は arc-シャーフである。これは、ドリンフェルトの fpqc 結果を強化する。
• スペクトルが価値環のスペクトルの互いに交わらない和集合であるような完全環 $A$ に対して、すべての定数ランクの有限局所自由 $W(A)[p^{-1}]$-加群が自由である。
• 非分岐再帰的群 $G$ に対して、写像 $LG \to L(G/B)$ は $v$-全射である。これは、等特徴的エタール結果の混合特徴的類似である。
• $p$-進デリーニュ＝ルシュチグ空間 $X_w(b)$ は、フラッグ多様体のループ空間と幾何的フロベニウスのグラフを含むカルテシアン図式により定義され、良好な $v$-シャーフをもたらす。
• $b=1$ の場合、被覆空間 $\dot{X}_{\dot{w}}(1)$ は、${\rm GL}_3$ と長さ最大のワイル群元に対する古典的デリーニュ＝ルシュチグ多様体の torsor と同型である。
• 被覆空間 $\dot{X}_{\dot{w}}(b)$ は、$X_w(b)$ の閉開部分集合上での pro-étale torsor であり、torsor 構造は Lang 写像と $G_0(k)$ の作用から生じる。