[論文レビュー] (Arc-disjoint) cycle packing in tournament: classical and parameterized complexity

Stéphane Bessy, Marin Bougeret+5 more|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 10被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、トーナメントにおける弧素性サイクルパッキングおよび三角形パッキングのNP困難性を確立し、パrameterized三角形パッキングにおける頂点線形カーネルの存在を証明し、フィードバック弧集合がマッチングをなすスパーストーナメントにおけるこれらの問題の多項式時間アルゴリズムを提示する。本研究は古典的およびパrameterized複雑性理論を橋渡しし、トーナメントにおけるフィードバック弧集合の双対問題としてのアルゴリズム的理解における長年のギャップを解消する。

ABSTRACT

A tournament is a directed graph in which there is a single arc between every pair of distinct vertices. Given a tournament T on n vertices, we explore the classical and parameterized complexity of the problems of determining if T has a cycle packing (a set of pairwise arc-disjoint cycles) of size k and a triangle packing (a set of pairwise arc-disjoint triangles) of size k. We refer to these problems as Arc-disjoint Cycles in Tournaments (ACT) and Arc-disjoint Triangles in Tournaments (ATT), respectively. Although the maximization version of ACT can be seen as the linear programming dual of the well-studied problem of finding a minimum feedback arc set (a set of arcs whose deletion results in an acyclic graph) in tournaments, surprisingly no algorithmic results seem to exist for ACT. We first show that ACT and ATT are both NP-complete. Then, we show that the problem of determining if a tournament has a cycle packing and a feedback arc set of the same size is NP-complete. Next, we prove that ACT and ATT are fixed-parameter tractable, they can be solved in 2^{O(k log k)} n^{O(1)} time and 2^{O(k)} n^{O(1)} time respectively. Moreover, they both admit a kernel with O(k) vertices. We also prove that ACT and ATT cannot be solved in 2^{o(sqrt{k})} n^{O(1)} time under the Exponential-Time Hypothesis.

研究の動機と目的

• トーナメントにおける弧素性サイクルパッキング（MaxCT）および三角形パッキング（MaxTT）の古典的およびパrameterized複雑性を調査すること。
• MaxCTおよびMaxTTがNP困難であるかどうか、特にフィードバック弧集合問題と関連して特定すること。
• 解のサイズをパrameterとする固定パrameter tractable（FPT）アルゴリズムおよびカーネル化の存在を検討すること。
• フィードバック弧集合がマッチングをなすトーナメント（スパーストーナメント）において、MaxCTおよびMaxTTの多項式時間アルゴリズムを開発すること。
• サイクルパッキングのサイズとフィードバック弧集合のサイズの関係を明らかにすること、特に両者がトーナメント内で等しくなる可能性があるかどうか。

提案手法

• 3-SATの変種への還元により、MaxCTおよびMaxTTのNP困難性を証明し、Exponential Time Hypothesis（ETH）のもとで2^o(√k)の下界も確立した。
• トーナメントが同じサイズのサイクルパッキングとフィードバック弧集合をもつかどうかを決定することはNP完全であることを示し、最大のサイクルパッキングのサイズ以上にパrameter化されたFASTにはFPTアルゴリズムが存在しないことを示唆した。
• フィードバック弧集合の構造を利用した動的計画法を用いて、k-MaxTT（パrameter化三角形パッキング）のO*(2^k)のFPTアルゴリズムを構築した。
• 解のサイズを保ったまま頂点数をO(k)に削減することで、k-MaxTTに頂点線形カーネルを確立した。
• フィードバック弧集合がマッチングであるという構造的性質を活用し、MaxTTおよびMaxCTのスパーストーナメントにおける多項式時間アルゴリズムを提案した。
• 有向グラフの分解および強い成分解析を用いて最適解の構造をモデル化し、特に補助有向グラフにおける端点強成分およびインブランチの分析を通じて解の構造を分析した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トーナメントにおける弧素性サイクルパッキング問題（MaxCT）はNP困難か？
• RQ2 解のサイズをパrameterとする三角形パッキング問題（MaxTT）は、固定パrameter tractable（FPT）アルゴリズムを有するか？
• RQ3 k-MaxTTは解のサイズに比例する頂点数のカーネルに還元可能か？
• RQ4 フィードバック弧集合がマッチングであるトーナメントにおいて、MaxCTおよびMaxTTは多項式時間で解けるか？
• RQ5 トーナメントが同じサイズのサイクルパッキングとフィードバック弧集合をもつかどうかを決定することはNP完全か？

主な発見

• MaxCTおよびMaxTTは、両者がフィードバック弧集合のサイズと等しいサイクルパッキングをもつトーナメントに制限されても、いずれもNP困難である。
• トーナメントが同じサイズのサイクルパッキングとフィードバック弧集合をもつかどうかを決定する問題はNP完全である。
• k-MaxTTはO*(2^k)のFPTアルゴリズムを有し、小さな解サイズに対して効率的な解法を提供する。
• k-MaxTTはO(k)の頂点線形カーネルを有し、解のサイズに変更を加えずにO(k)個の頂点に事前処理が可能であることを意味する。
• スパーストーナメント（フィードバック弧集合がマッチングである場合）において、MaxTTおよびMaxCTは多項式時間で解ける。
• 完全にスパースなトーナメントでは、最大サイクルパッキングのサイズと最大三角形パッキングのサイズが等しくなることが確認され、スパース性下での構造的同等性が裏付けられた。