[論文レビュー] Arc spaces and chiral symplectic cores

Tomoyuki Arakawa, Anne Moreau|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 28被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、頂点ポisson多様体におけるチャイナルシンプレクティックコアを、ポアソン幾何におけるシンプレクティック葉のチャイナルアナログとして導入する。任意の準リッス（quasi-lisse）頂点代数が、その関連多様体の削減弧空間の量子化であることを証明し、スロドウスキー断片の弧空間の座標環が、その頂点ポアソン中心に関して自由であることを示す。この中心は、双対リー代数の弧空間の不変式環として特定される。これは、臨界レベルにおけるアフィンW代数のフェイジン＝フレンケル中心同型の証明に欠けていた部分を埋める。

ABSTRACT

We introduce the notion of chiral symplectic cores in a vertex Poisson variety, which can be viewed as analogs of symplectic leaves in Poisson varieties. As an application we show that any quasi-lisse vertex algebra is a quantization of the arc space of its associated variety, in the sense that its reduced singular support coincides with the reduced arc space of its associated variety. We also show that the coordinate ring of the arc space of Slodowy slices is free over its vertex Poisson center, and the latter coincides with the vertex Poisson center of the coordinate ring of the arc space of the dual of the corresponding simple Lie algebra.

研究の動機と目的

• 頂点ポアソン多様体におけるポアソン幾何のシンプレクティック葉のチャイナルアナログを構築すること。
• 準リッス頂点代数が、その関連多様体の削減弧空間を量子化することを確立すること。
• スロドウスキー断片の弧空間の座標環が、その頂点ポアソン中心に関して自由であることを証明すること。
• 臨界レベルにおけるアフィンW代数の中心をフェイジン＝フレンケル中心と同一視すること。
• W代数の中心とフェイジン＝フレンケル中心の同型を、以前の文献では不完全であったが、これを完全に証明すること。

提案手法

• チャイナルハミルトニアンベクトル場が接する、最も細かい代数的層化として頂点ポアソンスキームにおけるチャイナルシンプレクティックコアの概念を導入する。
• 弧空間およびそれらに誘導される準同型を用いて、スロドウスキー断片とその削減の幾何を分析する。
• jetスキーム $J_n\mathscr{S}_f$ および $J_n(\mathfrak{g}/\!/G)$ における平坦性と正規性の議論を適用し、底面から弧空間への関数の持ち上げを行う。
• すべての $n$ に対して $J_n\mathscr{S}_f$ と $J_n(\mathfrak{g}/\!/G)$ がアフィン空間であるという事実を活用し、補題11.3による有理型写像の持ち上げを可能にする。
• 有理特異点をもつ完備交差の性質を用いて、$\mathbb{C}[J_\infty\mathscr{S}_f]$ がその頂点ポアソン中心に関して自由であることを導く。
• 量子化されたドリンフェルト＝ソコロフ還元を適用し、関連層の構造を比較することで、$\operatorname{gr}Z(\mathcal{W}^{cri}(\mathfrak{g},f))$ とスロドウスキー断片の弧空間の中心との関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポアソン幾何におけるシンプレクティック葉の概念を、頂点ポアソン多様体のチャイナル設定に一般化するにはどうすればよいか？
• RQ2 どのような条件下で頂点代数がその関連多様体の弧空間を量子化するのか？
• RQ3 スロドウスキー断片の弧空間の座標環は、その頂点ポアソン中心に関して自由か？
• RQ4 臨界レベルにおけるアフィンW代数の中心は、フェイジン＝フレンケル中心と一致するか？
• RQ5 W代数の中心とフェイジン＝フレンケル中心の同型は、厳密に確立可能か？

主な発見

• 任意の準リッス頂点代数 $V$ に対して $\operatorname{Specm}(\operatorname{gr}V) \cong J_\infty X_V$ が位相空間として成り立つ。これは、$V$ がその関連多様体の削減弧空間の量子化であることを示している。
• 準リッス頂点代数 $V$ に対して $J_\infty X_V$ の各既約成分は、チャイナルシンプレクティックコアの閉包である。
• $J_\infty\psi_f: J_\infty\mathscr{S}_f \to J_\infty(\mathfrak{g}^*/\!/G)$ は、既約的かつ削減されたファイバーを持つため、整合性のあるチャイナルポアソン準同型である。
• 頂点ポアソン中心 $\mathbb{C}[J_\infty\mathscr{S}_f]$ は、$\mathbb{C}[J_\infty\mathfrak{g}]^{J_\infty G}$ に同型であり、これは弧群作用の不変式環として特定される。
• 幾何的性質 $\mathscr{S}_f \cap \mathcal{N}$ を用いて、座標環 $\mathbb{C}[J_\infty\mathscr{S}_f]$ がその頂点ポアソン中心に関して自由であることが示された。
• 臨界レベルにおけるアフィンW代数 $\mathcal{W}^{cri}(\mathfrak{g},f)$ の中心は、フェイジン＝フレンケル中心 $\mathfrak{z}(\widehat{\mathfrak{g}})$ に同型であり、以前の文献で不完全であった証明が完成した。