[論文レビュー] Archimedean Type Conditions in Categories

Elemér E Rosinger|ArXiv.org|Mar 6, 2008

Mathematical and Theoretical Analysis参考文献 1被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、任意の圏に対して、順序付き半群からの古典的アーケメデス性の性質を一般化する2つの新しいアーケメデス型条件を導入する。単位的同値性と反復合成の有界性を用いて、アーケメデス的圏を定義し、準順序付き圏では第一の条件が有界性に簡略化され、第二の条件は唯一離散的圏（すべての射が恒等射）を意味することを示している。

ABSTRACT

Two concepts of being Archimedean are defined for arbitrary categories.

研究の動機と目的

• 順序付き半群からの古典的アーケメデス性の性質を、任意の圏へ一般化すること。
• 自己合成が一般には定義されない圏において、『単位的』射を定義すること。
• 矢印圏と射クラスの有界性を用いて、アーケメデス性の2つの異なる圏的類似を確立すること。
• これらの定義が、特に準順序付き圏の場合に与える影響を調査すること。
• 古典的アーケメデス的概念が、構造化された設定における圏的一般化とどのように関係するかを明確にすること。

提案手法

• 圏 $\mathcal{C}^2$ を用いて、可換図式と $\mathcal{C}^2$ 内の同型を介して、射間の単位的同値性を定義する。
• 射 $f$ が、$\mathcal{C}$ 内の射 $a, b$ を用いて $g = b \circ f \circ a$ と書けるとき、$f$ を $g$ の部分射と定義する。これにより、射の合成と比較が可能になる。
• 第一のアーケメデス条件（2.1）を提案：$\mathcal{C}$ の任意の射は、固定された射 $v$ に単位的同値な射の有限合成の部分射でなければならない。
• $\mathbb{N}v$ を、$v$ に単位的同値な射の有限合成可能なすべての列の集合と定義し、単一の射の部分射としての有界性を導入する。
• 第二のアーケメデス条件（2.5）は、$\mathbb{N}v$ が有界ならば、$v$ は恒等射でなければならないと述べる。
• 定義を、対象間の射が一意であるための準順序付き圏に適用し、明確な特徴付けを得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 順序付き半群からの古典的アーケメデス性は、どのように任意の圏へ一般化できるか？
• RQ2 自己合成が常に定義されない圏において、射が『単位的』であるとはどういう意味か？
• RQ3 単位的同値な射の反復合成が有界であると、生成する射が恒等射であることを示す条件は何か？
• RQ4 準順序付き圏において、圏的アーケメデス条件は、順序付き半群における既知の性質を回復するか？
• RQ5 2つのアーケメデス条件は、特に準順序付き圏において、圏にどのような構造的制約を課すか？

主な発見

• 準順序付き圏では、第一のアーケメデス条件（2.1）は、その圏が有界であることと同値であり、すなわち、すべての他の射が部分射として支配されるような射が存在する。
• 第二のアーケメデス条件（2.5）は、その圏のすべての射が恒等射でなければならないことを意味し、すなわち、その圏は離散的である。
• 準順序付き圏において、$\mathbb{N}v$ は $v$ にかかわらず常に有界であるため、条件（2.5）は $v$ が恒等射でなければならないことを強制する。
• 第一の条件（2.1）は、圏の構造が弱いため、順序付き半群の文脈における古典的アーケメデス性（1.2）や（1.4）を回復しない。
• 第二の条件（2.5）は第一の条件よりも厳密に強い。なぜなら、第二の条件は離散的圏でのみ成立するが、第一の条件は有界な準順序付き圏で成立するからである。