[論文レビュー] Are all cofibrantly generated model categories combinatorial?

Jir̆ı́ Rosický|arXiv (Cornell University)|May 5, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、一般化された意味での cofibrantly generated なモデル圏がすべて combinatorial なモデル圏と Quillen 同値であるという主張と、Vopěnka の原則が論理的に同値であることを確立している。有界で局所的プレゼンタブルでない圏における自明なモデル構造を用いて、そのような Quillen 同値性の存在が Vopěnka の原則を含意することを示し、Raptis の元々の結果における公理の集合論的必要性を示している。

ABSTRACT

G. Raptis has recently proved that, assuming Vopěnka's principle, every cofibrantly generated model category is Quillen equivalent to a combinatorial one. His result remains true for a slightly more general concept of a cofibrantly generated model category. We show that Vopěnka's principle is equivalent to this claim. The set-theoretical status of the original Raptis' result is open.

研究の動機と目的

• Raptis の結果、すなわちすべての cofibrantly generated なモデル圏が combinatorial なモデル圏と Quillen 同値であるという事実が、Vopěnka の原則に依存しているかどうかを特定すること。
• cofibrantly generated なモデル圏と combinatorial なモデル圏の関係を分析することで、Raptis の定理の集合論的状態を調査すること。
• Vopěnka の原則を仮定せずに、cofibrantly generated なモデル圏と combinatorial なモデル圏の同値性が成り立つかどうかを検討すること。
• Quillen 同値性が combinatorial なモデル圏へ存在することから、Vopěnka の原則が導かれるという事実を、反例の圏を用いて確立すること。

提案手法

• 順序数で添え字づけられた剛体グラフの完全部分圏 A を用いて、局所的プレゼンタブルでないが有界かつ完全な圏 K に自明なモデル構造を構成する。
• 密度と表現可能性を分析するための標準的函手 E_A: K → Set^{A^op} を用い、A が密度を持つが K は局所的プレゼンタブルでないことを示す。
• 弱因数分解系 (Iso, K) が非プレゼンタブルな対象のおかげで、標準的意味での cofibrantly generated ではないが、一般化された意味では cofibrantly generated であることを証明する。
• 自明なモデル圏 K と combinatorial なモデル圏 M の間の Quillen 同値性を仮定し、余極限の保存性と因数分解の性質から矛盾を導く。
• M において置換函手 R が正則な基数 λ₀ について λ₀-フィルター付き余極限を保存することを用い、id₁ が余極限ココcone の成分を通じて因数分解されることから矛盾を導く。
• 文献 [8] および [7] の結果を適用し、K が M からの余極限を保存する函手の全像であれば、K は局所的プレゼンタブルでなければならないことを示す — これは仮定に反する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての cofibrantly generated なモデル圏が combinatorial なモデル圏と Quillen 同値であるためには、Vopěnka の原則が必要か？
• RQ2 局所的プレゼンタブルでない cofibrantly generated なモデル圏でも、still combinatorial なモデル圏と Quillen 同値である可能性はあるか？
• RQ3 cofibrantly closed なクラスに基づく一般化された cofibrantly generated な弱因数分解系の定義は、標準的定義よりも強い結果をもたらすか？
• RQ4 有界ではあるが局所的プレゼンタブルでない圏における自明なモデル構造は、一般化された意味で cofibrantly generated か？
• RQ5 自明なモデル圏と Quillen 同値な combinatorial なモデル構造の存在は、局所的プレゼンタビリティを含意するか？

主な発見

• Vopěnka の原則は、一般化された意味でのすべての cofibrantly generated なモデル圏が combinatorial なモデル圏と Quillen 同値であるという主張と論理的に同値である。
• 局所的プレゼンタブルでないが有界かつ完全な圏 K における自明なモデル構造は、反例を提供する。この場合、(K, Iso) は一般化された意味では cofibrantly generated だが、標準的意味ではそうではない。
• K と combinatorial なモデル圏 M の間の Quillen 同値性の存在は、K が局所的プレゼンタブルであることを含意するが、これは Vopěnka の原則の否定下での K の構成に反する。
• 証明は、そのような Quillen 同値性が存在するならば、終対象 1 に関する恒等射が余極限ココcone の成分を通じて因数分解されねばならないが、これは 1 の非プレゼンタビリティに反する、と示している。
• コンパクトな基数の真のクラスが存在するという仮定の下で、自明なモデル圏 K が combinatorial なモデルをもつのは、K が局所的プレゼンタブルであるときかつそのときに限る。
• ゆえに、Vopěnka の原則が成り立たない限り、Quillen 同値な combinatorial なモデルを持たない cofibrantly generated なモデル圏が存在する。