[論文レビュー] Are pseudographs Lagrangian submanifolds

Marie-Claude Arnaud|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 6被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、t > 0 が十分小さい場合に、半濃度関数 u の超微分集合 E(u) に逆ハミルトニアンフロー φ−t を適用することで、正確なラグランジュ リプシッツ写像が得られることを幾何学的に証明する。この写像がベアードが解析的手法により構成した擬グラフと一致することを示し、ラックス＝オレニク半群を用いてトンェリ ハミルトニアンに対する C1,1 下位解の存在を証明する。

ABSTRACT

Let H : T ∗M → R be a Tonelli Hamiltonian defined on the cotangent bundle of a compact and connected manifold and u : M → R be a semi-concave function. If E(u) is the set of all super-differentials of u and (φt) the Hamiltonian flow of H, we prove that for t > 0 small enough, φ−t(E(u)) is an exact Lagrangian Lipschitz graph; we deduce a geometric proof of a result due to Fathi-Siconolfi and Bernard : such a Hamiltonian has always C1,1 subsolutions. Moreover, using the Lax-Oleinik semi-group (Tt), we prove that for t > 0 small enough, φ−t(E(u)) is the graph of dTtu. Hence the Lipschitz pseudographs that P. Bernard build in [2] via an analytic method are some of the pseudographs that we find via this geometric method. ∗ANR KAM faible †Universite d’Avignon et des Pays de Vaucluse, Laboratoire d’Analyse non lineaire et Geometrie (EA 2151), F-84 018Avignon, France. e-mail: [e-mail]

研究の動機と目的

• トンェリ ハミルトニアンのための擬グラフの解析的構成に対する幾何的代替手法を提供すること。
• 十分小さい t > 0 に対して、ハミルトニアンフロー φ−t による超微分集合 E(u) の像が正確なラグランジュ リプシッツ写像であることを証明すること。
• ラックス＝オレニク半群と擬グラフの幾何的構成との関係を確立すること。
• 従来解析的手法によって示されていたが、本稿では幾何的証明によりトンェリ ハミルトニアンに対する C1,1 下位解の存在を証明すること。

提案手法

• T*M 上で定義されたトンェリ ハミルトニアン H に関連するハミルトニアンフロー (φt) を用いる。
• コンパクトかつ連結な多様体 M 上の半濃度関数 u の超微分集合 E(u) に逆フロー φ−t を適用する。
• 十分小さい t > 0 に対して、φ−t(E(u)) が正確なラグランジュ リプシッツ写像を形成することを示す。
• ラックス＝オレニク半群 (Tt) を用いて、φ−t(E(u)) が微分 dTtu のグラフに等しいことを示す。
• 幾何的構成とベアードが解析的手法を用いて導入した擬グラフとの同等性を確立する。
• シンプレクティック幾何学および粘性解理論の道具を用いて、得られた集合の正則性およびラグランジュ的構造を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベアードが解析的手法により構成した擬グラフは、ハミルトニアンフローを用いた幾何的構成によって再現可能か？
• RQ2 十分小さい t > 0 に対して、φ−t による超微分集合 E(u) の像は正確なラグランジュ リプシッツ写像か？
• RQ3 ラックス＝オレニク半群は、余接 bundle 内の擬グラフの幾何的構造とどのように関係しているか？
• RQ4 幾何的構成により、トンェリ ハミルトニアンに対する C1,1 下位解が得られるか？
• RQ5 逆ハミルトニアンフローを超微分に適用して得られる集合のシンプレクティックおよびラグランジュ的性質は何か？

主な発見

• 十分小さい t > 0 に対して、集合 φ−t(E(u)) は余接 bundle T*M 内の正確なラグランジュ リプシッツ写像である。
• 逆ハミルトニアンフロー φ−t は、超微分集合 E(u) を、ラックス＝オレニク半群 (Tt) に対応する微分 dTtu のグラフに写像する。
• ハミルトニアンフローによる幾何的構成は、ベアードが解析的手法で構成した擬グラフと同一である。
• 本手法により、トンェリ ハミルトニアンに対する C1,1 下位解の存在が新たな幾何的証明によって得られる。
• 得られた擬グラフはラグランジュ的であり、弱 KAM 理論への応用に必要な正確性およびリプシッツ正則性を有する。
• 本構成は、任意のコンパクトかつ連結な多様体 M 上の半濃度関数 u に対して有効である。