[論文レビュー] Are Quantum States Exponentially Long Vectors?

Scott Aaronson|ArXiv.org|Jul 26, 2005

Quantum Mechanics and Applications参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、現在の量子実験やアルゴリズムが本質的にこのような状態に依存していることを示すことで、量子状態を単なる数学的抽象ではなく、指数的長さのベクトルとして見なすべきだと主張している。量子状態は古典的確率分布と同じくらい問題がないと示し、量子アドバイスがNP完全問題を解くのを可能にしないことを証明することで、量子力学の物理的妥当性に対する懐疑を覆している。

ABSTRACT

I'm grateful to Oded Goldreich for inviting me to the 2005 Oberwolfach Meeting on Complexity Theory. In this extended abstract, which is based on a talk that I gave there, I demonstrate that gratitude by explaining why Goldreich's views about quantum computing are wrong.

研究の動機と目的

• 量子状態が指数的長さを持つことから物理的に不審であるという見方を、ゴールドレーチュのような懐疑者への反論として挑戦すること。
• 現在の実験やアルゴリズムにおける量子状態が、指数的長さのベクトルとして一貫していることを示すこと。
• 量子状態の指数的性質が、古典的確率分布の指数的性質よりも根本的に問題が多いとは言えないことを示すこと。
• 量子計算のパワーを制限するために、量子アドバイスがNP完全問題の効率的解法を可能にしない証拠を提供すること。

提案手法

• 『木状態』（線形結合およびテンソル積の多項式サイズの木で表現可能な量子状態）を提唱し、物理的に準備可能な状態と量子アルゴリズムで使われる状態を区別する『Sure/Shor分離子』の候補とする。
• 木状態に制限された量子コンピュータのシミュレーションの計算複雑性を分析し、それがΣ₃ᴾ ∩ Π₃ᴾでシミュレート可能であることを示す。
• 相対化された複雑性クラスを用いて、NPがBQP/qpolyに含まれないようなオракルを構築し、量子アドバイスを用いたブルートフォース法がNP完全問題を解けないことを示す。
• BQP/qpoly ⊆ PP/poly の結果を適用して、量子アドバイスのパワーを制限し、多項式階層を崩壊させないことを示す。
• PostBQP/qpoly = ALL であることを示したが、同様の結果が古典的確率的アドバイスに対しても成り立つ（例：IP/rpoly = ALL）ため、量子アドバイスが特異なパワーを提供しないと主張する。
• QMA/qpoly は ALL に真に含まれるのだと予想する。MA/rpoly と同様の性質を示し、量子アドバイスが計算の困難性を崩壊させないことを示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 『Sure/Shor分離子』を定義し、物理的に準備可能な量子状態と、ショアの因数分解のような量子アルゴリズムで使われる状態を区別できるか？
• RQ2 現在の実験結果を踏まえると、指数的長さのベクトルである量子状態は物理的に妥当であると言えるか？
• RQ3 量子状態の指数的性質は、古典的確率分布の指数的性質よりも、計算的または物理的コストが高くなると見なせるか？
• RQ4 量子アドバイス付きの量子コンピュータが、多項式時間でNP完全問題を解くことができるか？もしできないなら、その理由は何か？
• RQ5 インタラクティブ証明系において、量子アドバイスは古典的確率的アドバイスよりも根本的に強力なパワーを提供するか？

主な発見

• シュレーディンガーの猫状態を含むC60二重スリット実験などの現在の実験で使われる量子状態は、指数的長さのベクトルとして一貫している。
• 線形結合およびテンソル積の多項式サイズの木で表現可能な『木状態』は、Σ₃ᴾ ∩ Π₃ᴾでシミュレート可能であり、完全な量子状態ほど強力ではないと示唆される。
• BQP/qpoly ⊆ PP/poly の結果は、量子アドバイスが量子計算のパワーを古典的アドバイスを超えて著しく拡大しないことを示している。
• NPがBQP/qpolyに含まれないような相対化された世界が存在し、量子アドバイスを用いたブルートフォース法がNP完全問題を解けないことを示している。
• PostBQP/qpoly = ALL であるが、同様の結果が古典的確率的アドバイスに対しても成り立つ（例：IP/rpoly = ALL）ため、量子アドバイスが特異な計算パワーを提供しないことが示唆される。
• 著者は、QMA/qpoly が ALL に真に含まれると予想する。MA/rpoly と同様の性質を示し、量子アドバイスが複雑性クラスを崩壊させないことを示唆する。