[論文レビュー] Are the incompressible 3d Navier-Stokes equations locally ill-posed in the natural energy space?

Hao Jia, Vladimír Šverák|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2013

Navier-Stokes equation solutions被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、スケール不変解に関連する線形作用素のスペクトル性質を分析することにより、自然エネルギー空間における3次元非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の局所的非適定性を調査する。線形化作用素に正の実部を持つ固有値および適切な減衰性を有する場合、古典的摂動理論の限界に位置する compactly supported かつ $L^2$ 初期データに対しても非一意性と非適定性が生じることを示し、レイリー＝ホプフ解の非一意性に対するスペクトル的基準を提供する。

ABSTRACT

An important open problem in the theory of the Navier-Stokes equations is the uniqueness of the Leray-Hopf weak solutions with $L^2$ initial data. In this paper we give sufficient conditions for non-uniqueness in terms of spectral properties of a natural linear operator associated to scale-invariant solutions recently constructed in \cite{JiaSverak}. If the spectral conditions are satisfied, non-uniqueness and ill-posedness can appear for quite benign compactly supported data, just at the borderline of applicability of the classical perturbation theory. The verification of the spectral conditions seems to be approachable by relatively straightforward numerical simulations which involve only smooth functions.

研究の動機と目的

• 3次元非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式が自然エネルギー空間 $L^2$ において局所的に非適定であるかどうかを特定すること。
• 初期データが $L^2$ の場合に非一意性および非適定性を引き起こす線形化作用素 $σ$ に関する十分なスペクトル的条件を確立すること。
• 古典的摂動理論の閾値に位置する compactly supported で滑らかな初期データに対しても非一意性が生じうることを示すこと。
• 線形化作用素 $σ$ のスペクトル的性質と複数のレイリー＝ホプフ弱解の存在との関連を結びつけること。
• バナッハ空間における滑らかな関数の数値シミュレーションを用いた非一意性の検証フレームワークを提供すること。

提案手法

• 著者らは、$-1$-斉次初期データ $\sigma u_0$ を持つ3次元ナビエ＝ストークス方程式のスケール不変解 $u_\sigma(x,t) = \frac{1}{\sqrt{t}} U_\sigma(\frac{x}{\sqrt{t}})$ を分析する。
• 彼らは $u_\sigma$ の周りでナビエ＝ストークス方程式を線形化し、摂動 $\phi$ を記述する時間に依存する方程式を導出する。この方程式は作用素 $\mathcal{L}_\sigma$ に従う。
• 時間発展は、$\mathcal{L}_\sigma$ が $U_\sigma$、勾配、および圧力補正を含む時間に依存しない作用素である $(-\infty, 0)$ 上で $\phi_t = \mathcal{L}_\sigma \phi$ に変換される。
• スペクトル的性質は、発散なしのベクトル場を備えたバナッハ空間 $X = L^2 \cap L^4$ において、無限遠における減衰条件を伴って分析される。
• 非一意性は、$\mathcal{L}_\sigma$ の固有値が正の実部を持ち、かつ無限遠で $o(|x|^{-1})$ の減衰を示す場合に結びつけられる。
• 解の局所化は、解をスケール不変部と摂動に分解し、事前推定および正則性理論を用いることで、コンパクトに支持された初期データに適用される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形化作用素 $\mathcal{L}_\sigma$ にどのようなスペクトル的条件が満たされると、3次元ナビエ＝ストークス系が自然エネルギー空間で非一意性および非適定性を示すか？
• RQ2 古典的摂動理論の閾値に位置する compactly supported で $L^2$ 初期データに対しても、レイリー＝ホプフ弱解の非一意性が生じうるか？
• RQ3 $\sigma$ の変化に伴う $\mathcal{L}_\sigma$ のスペクトルにおける分岐は、同一の初期データに対して複数の解をどのようにもたらすか？
• RQ4 滑らかな関数と標準的なバナッハ空間技法を用いた場合、非一意性のスペクトル的条件はどの程度数値的に検証可能か？
• RQ5 $\mathcal{L}_\sigma$ に正の実部を持つ固有値が存在することは、$L^2$ 初期データに対して非適定性を示すのに十分か？

主な発見

• 線形化作用素 $\mathcal{L}_\sigma$ が正の実部を持つ固有値を持ち、対応する固有関数が無限遠で $o(|x|^{-1})$ の減衰を示す場合、コンパクトに支持された発散なし初期データを $L^2$ に属する場合、3次元ナビエ＝ストークス方程式の非一意性および非適定性が生じ得る。
• スペクトル的条件 (A) — $\mathcal{L}_\sigma$ の固有値が正の実部を持ち、適切な減衰性を有すること — が満たされれば、同一のコンパクトに支持された初期データ $v_0 \in C^\infty(\mathbb{R}^3 \setminus \{0\})$ を持つ2つの異なるレイリー＝ホプフ弱解を構成可能である。
• $\sigma$ が臨界値 $\sigma_0$ に十分近い場合、解曲線 $U_\sigma$ はピッチfork分岐を経験し、自己相似解の非一意性が生じ、結果として弱解の非一意性が生じる。
• 構成された2つの解は $\mathbb{R}^3 \times (0,1)$ 上で滑らかであり、$L^2(\mathbb{R}^3)$ で一様有界であるため、レイリー＝ホプフ弱解であることが確認される。
• $t \to 0^+$ のとき、2つの解の差の $L^4$-ノルムは無限大に発散するため、それらは同一ではないことが証明されるが、同じ初期データを持つ。
• 非一意性のスペクトル的条件は、滑らかな関数および標準的な $L^p$-ベースのバナッハ空間を用いた数値的検証が可能である。