[論文レビュー] Area law for the entanglement entropy of the free Fermi gas at nonzero temperature

Hajo Leschke, Alexander V. Sobolev+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2015

Quantum many-body systems参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、無限次元空間における非ゼロ温度での自由フェルミガスのエンタングルメント・エントロピー（EE）に対する、初めての厳密な漸近公式を確立する。熱的EEの主要な大スケール項が、熱的エントロピー密度の有限サイズ補正の2倍であることを示し、これは境界表面における熱的エントロピーに対応し、ゼロ温度極限では ln(1/T) 特異性に簡約され、既知の面積則スケーリングへの対数補正を回復する。

ABSTRACT

The leading asymptotic large-scale behavior of the spatially bipartite entanglement entropy (EE) of the free Fermi gas infinitely extended in multidimensionsal Euclidean space at zero absolute temperature, T=0, is by now well understood. Here, we announce and discuss the first rigorous results for the corresponding EE of thermal equilibrium states at T>0. The leading large-scale term of this thermal EE turns out to be twice the leading finite-size correction to the infinite-volume thermal entropy (density). Not surprisingly, this correction is just the thermal entropy on the boundary surface of the bipartition. However, it is given by a rather complicated analytical expression derived from semiclassical functional calculus and differs, at least at high temperature, from simpler expressions previously obtained by arguments based on conformal field theory. In the zero-temperature limit, the leading large-scale term of the thermal EE considerably simplifies and displays a ln(1/T)-singularity which one may identify with the known logarithmic correction at T=0 to the so-called area-law scaling. Our results extend to the whole one-parameter family of (quantum) R\'enyi entropies.

研究の動機と目的

• 非ゼロ温度における自由フェルミガスのエンタングルメント・エントロピーの、大スケールにおける漸近的性質を厳密に特徴づける。
• 熱的エンタングルメント・エントロピーと熱的エントロピー密度の有限サイズ補正との関係を明確にする。
• エンタングルメント・エントロピーの面積則を有限温度および全族のRényiエントロピーへ拡張する。
• 高温領域における半古典的結果と、以前の conformal field theory に基づく近似との不一致を解消する。

提案手法

• 熱的平衡状態におけるエンタングルメント・エントロピーの主要項の漸近的性質を導出するため、半古典的関数計算の応用。
• スペクトル射影とフェルミ・ディラック分布を用いた縮約密度行列のトレースの分析。
• エンタングルメント・エントロピーの主要な大スケール項を、熱的エントロピー密度の有限サイズ補正の2倍として導出。
• 縮約密度行列のトレースクラス性を用いて、漸近展開の収束性と有効性を保証。
• 縮約密度行列における関数計算を用いて、全1パrameter族のRényiエントロピーへの結果の拡張。
• ゼロ温度極限における漸近的解析により、面積則に対する既知の対数補正を回復。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非ゼロ温度における自由フェルミガスのエンタングルメント・エントロピーの主要な大スケール漸近的性質は何か？
• RQ2 熱的エンタングルメント・エントロピーは、熱的エントロピー密度の有限サイズ補正とどのように関係するか？
• RQ3 高温領域における熱的EEの振る舞いは、なぜCFTに基づく近似とは異なるのか？
• RQ4 熱的エンタングルメント・エントロピーのゼロ温度極限は何か？ そして、面積則への対数補正とどのように関係するか？
• RQ5 結果は全Rényiエントロピー族へどのように一般化されるか？

主な発見

• 熱的エンタングルメント・エントロピーの主要な大スケール項は、無限体積における熱的エントロピー密度の有限サイズ補正の2倍である。
• この補正項は、二部分割の境界表面に局在化した熱的エントロピーに対応し、半古典的関数計算により導出された。
• 高温領域では、熱的EEの式は、より単純なCFTに基づく近似とは異なる。
• ゼロ温度極限において、熱的EEは ln(1/T) 特異性を示し、既知の面積則への対数補正と一致する。
• 結果は全Rényiエントロピーへ拡張され、全族のエントロピー測度間の整合性が確認された。
• 導出により、有限温度における量子多体系におけるエンタングルメント・エントロピーと境界熱的効果との間の厳密な関係が確立された。