[論文レビュー] Area laws and efficient descriptions of quantum many-body states

Yimin Ge, Jens Eisert|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2014

Quantum many-body systems参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、D ≥ 2 の次元において、すべての Rényi エントロピーに対して面積則を満たす量子多体状態が、指数関数的に大きな次元の部分空間を形成し得ることを示している。これは、PEPS や MERA などのテンソルネットワークによる効率的記述も、後選択を伴う多項式サイズの量子回路による準備に対しても不可能であることを意味する。主な結果は、面積則だけでは、効率的な古典的または量子的シミュレーションが保証されないということであり、量子多体物理学において広く信じられている仮定に挑戦するものである。

ABSTRACT

It is commonly believed that area laws for entanglement entropies imply that a quantum many-body state can be faithfully represented by efficient tensor network states - a conjecture frequently stated in the context of numerical simulations and analytical considerations. In this work, we show that this is in general not the case, except in one dimension. We prove that the set of quantum many-body states that satisfy an area law for all Renyi entropies contains a subspace of exponential dimension. Establishing a novel link between quantum many-body theory and the theory of communication complexity, we then show that there are states satisfying area laws for all Renyi entropies but cannot be approximated by states with a classical description of small Kolmogorov complexity, including polynomial projected entangled pair states (PEPS) or states of multi-scale entanglement renormalisation (MERA). Not even a quantum computer with post-selection can efficiently prepare all quantum states fulfilling an area law, and we show that not all area law states can be eigenstates of local Hamiltonians. We also prove translationally invariant and isotropic instances of these results, and show a variation with decaying correlations using quantum error-correcting codes.

研究の動機と目的

• 面積則が PEPS や MERA のようなテンソルネットワークによる効率的記述を意味するという一般的な仮定に反論すること。
• 面積則状態が低コルモゴロフ複雑性の状態で近似可能であるか、または効率的な量子回路によって準備可能かどうかを調査すること。
• 物理的に意味のある量子状態と、効率的にシミュレート可能な状態との境界を、特に高次元において明確にすること。
• 並進不変性や回転対称性、あるいは相関の減衰がある場合でも、面積則状態が依然として効率的記述を拒む可能性があることを確立すること。
• 量子相の分類および量子シミュレーションにおける量子もつれの役割に及ぼす影響を検討すること。

提案手法

• D次元格子上に、(D−1)次元の量子状態をD次元の超平面に埋め込むことで、量子状態の族を構築し、もつれ構造を保存する。
• 埋め込みの幾何的制約により、すべての Rényi エントロピー Sα に対して面積則が満たされ、もつれエントロピーが O(|∂A|) のスケーリングを示すことを証明する。
• 通信複雑性理論を用いて、面積則状態の構築された部分空間が指数関数的次元を有することを示し、これにより短い古典的記述が存在しないことを示す。
• 部分空間の指数的複雑性のため、後選択を伴う多項式サイズの量子回路でも、すべての面積則状態を効率的に準備できないことを示す。
• 明示的な反例を構築することで、すべての面積則状態が局所ハミルトニアンの固有状態ではないことを確立する。
• 並進および回転対称性の設定に拡張し、代数的減衰する相関を持つ状態に対しても、依然として効率的記述が不可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 D ≥ 2 において、すべての Rényi エントロピーに対して面積則を満たす量子多体状態は、PEPS や MERA のようなテンソルネットワーク状態によって効率的に記述可能か？
• RQ2 後選択を伴う多項式サイズの量子回路によって、すべての面積則状態を効率的に準備することは可能か？
• RQ3 面積則が、コルモゴロフ複雑性が多項式的な古典的記述によって近似可能であることを意味するのか？
• RQ4 並進不変性や回転対称性といった追加の物理的対称性がある状態に対しても、面積則状態は依然として効率的な古典的または量子的シミュレーションを拒むのか？
• RQ5 ギャップがある系でさえ、任意の局所ハミルトニアンの固有状態でない面積則状態は存在するのか？

主な発見

• D ≥ 2 において、すべての Rényi エントロピーに対して面積則を満たす量子多体状態の集合には、次元 exp(Ω(L^{D-1})) の部分空間が存在し、系のサイズに指数関数的に増加する。
• この指数関数的次元の部分空間は、PEPS や MERA を含む、任意の多項式的コルモゴロフ複雑性の古典的記述でも近似不可能である。
• 後選択を伴う多項式サイズの量子回路でも、部分空間の指数的複雑性のため、すべての面積則状態を効率的に準備できない。
• 任意の局所ハミルトニアンの固有状態でない面積則状態が存在し、面積則が物理的状態（基底状態）を意味するとは限らないことを示している。
• 並進不変性や回転対称性、代数的減衰相関を持つ状態に対しても、結果は成り立つ。
• 通信複雑性を用いた構成により、短い古典的記述を持たない、面積則状態の半明示的クラスが得られ、もつれスケーリングとシミュレータビリティの間には根本的なギャップがあることが浮き彫りになった。