[論文レビュー] Area of intrinsic graphs and coarea formula in Carnot Groups

Antoine Julia, Sebastiano Nicolussi Golo+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、Carnot群における$C^{1}_{H}$内接グラフの面積公式と、$C^{1}_{H}$部分多様体のスライcingのための共面積公式を確立する。均質接空間に依存する連続的な面積係数を導入し、回転対称距離を備えたヒルベルト群では、共面積係数が水平微分の転置との合成の行列式の平方根に比例することを証明した。これにより、可rectifiable集合の測度論的解析が明確に可能となる。

ABSTRACT

We consider submanifolds of sub-Riemannian Carnot groups with intrinsic $C^1$ regularity ($C^1_H$). Our first main result is an area formula for $C^1_H$ intrinsic graphs; as an application, we deduce density properties for Hausdorff measures on rectifiable sets. Our second main result is a coarea formula for slicing $C^1_H$ submanifolds into level sets of a $C^1_H$ function.

研究の動機と目的

• 部分多様体が内接的に$C^{1}$正則性を有するサブリーマンフォンCarnot群における幾何的積分理論の構築。
• 内接的$C^{1}_{ ext{H}}$写像によって定義される内接グラフの面積公式の導出により、可rectifiable集合上のハウスドルフ測度の計算を可能にする。
• $C^{1}_{H}$関数によるスライシングによる$C^{1}_{H}$部分多様体の共面積公式の確立。
• 回転対称距離を有するヒルベルト群における共面積係数の特定。$\left(\det(L \circ L^T)\right)^{1/2}$に比例することを示す。

提案手法

• 面積公式は、フェデラー密度に基づく測度の微分定理を用い、面積係数は内接グラフの均質接空間を介して暗黙的に定義される。
• 面積公式の証明は、$C^{1}_{H}$写像における陰関数定理に依存し、$C^{1}_{H}$部分多様体が補完的均質部分群上での局所的内接グラフとして表現可能であることを示す。
• 共面積公式は、$C^{1}_{H}$関数による$C^{1}_{H}$部分多様体のスライシングと、レベル集合の測度論的性質の解析によって確立される。
• ヒルベルト群では、共面積係数は、ユークリッド共面積公式と回転対称性を用いて明示的に計算され、球面ハウスドルフ測度と微分の行列式が結びつけられる。
• 幾何的対象の正則性と一貫性を保証するため、内在的リプシッツ連続性およびパンス微分可能性の理論が用いられる。
• 共面積係数の定数は、球面測度の正規化と垂直部分群上のユークリッドハウスドルフ測度との比較により決定される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Carnot群における内接グラフの面積は、ユークリッド空間における古典的面積公式に類似した公式を用いてどのように計算可能か？
• RQ2 Carnot群における$C^{1}_{H}$関数による$C^{1}_{H}$部分多様体のスライシングにおいて、共面積係数の明確な形は何か？
• RQ3 ヒルベルト群では、共面積係数が微分の合成の行列式の平方根に比例する条件は何か？
• RQ4 面積公式における面積係数は、内接グラフの生成写像の導関数を用いて明示的に表現可能か？
• RQ5 面積および共面積公式は、群構造における均質部分群の分割の選択にどの程度依存するか？

主な発見

• 内接$C^{1}_{H}$グラフの面積公式は、$d$次元ハウスドルフ測度を、均質接空間にのみ依存する連続的な面積係数で重み付けされたベースドメイン上の積分として表現する。
• 面積係数は適切に定義され、連続的であり、点における値はその点における接空間の内在的幾何にのみ依存する。
• 回転対称距離を有するヒルベルト群$\mathbb{H}^n$では、$C^{1}_{H}$関数によるスライシングにおける共面積係数は$\left(\det(L \circ L^T)\right)^{1/2}$に比例する。ここで$L$は部分多様体接空間への水平微分の制限である。
• $\mathbb{H}^n$において$\mathbb{G}' = \mathbb{R}$の場合、可rectifiable集合の球面測度とハウスドルフ測度は定数倍の関係にあり、定数$C \in [1, 2^{2n+1}]$である。
• 回転対称性により、$\mathbb{H}^n$の固定トポロジカル次元の垂直部分群全体で共面積係数が一定となるため、対称的状況では公式が簡略化される。
• 共面積公式の定数は、垂直部分群上の球面測度の正規化因子と明示的に関係づけられ、サブリーマンフォンとユークリッド測度論が結びつけられる。