[論文レビュー] Area-Universal Rectangular Layouts

David Eppstein, Elena Mumford+2 more|ArXiv.org|Jan 25, 2009

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、長方形レイアウトが領域への面積割り当てをいかなるものにも実現可能（面積ユニバーサル）であるための必要十分条件を特定している。その条件とは、すべての最大線分が一様に向き付けられたT字接続を持つ長方形の辺である「一方的（one-sided）」レイアウトであることである。著者らは、このようなレイアウトを計算する数値的アルゴリズムを提示し、任意のレイアウトに対して、指定された面積または周囲長割り当てを満たす同相なレイアウトが高々1つしか存在しないことを証明している。これにより、隣接制約から面積ユニバーサルレイアウトを効率的に構築できる。

ABSTRACT

A rectangular layout is a partition of a rectangle into a finite set of interior-disjoint rectangles. Rectangular layouts appear in various applications: as rectangular cartograms in cartography, as floorplans in building architecture and VLSI design, and as graph drawings. Often areas are associated with the rectangles of a rectangular layout and it might hence be desirable if one rectangular layout can represent several area assignments. A layout is area-universal if any assignment of areas to rectangles can be realized by a combinatorially equivalent rectangular layout. We identify a simple necessary and sufficient condition for a rectangular layout to be area-universal: a rectangular layout is area-universal if and only if it is one-sided. More generally, given any rectangular layout L and any assignment of areas to its regions, we show that there can be at most one layout (up to horizontal and vertical scaling) which is combinatorially equivalent to L and achieves a given area assignment. We also investigate similar questions for perimeter assignments. The adjacency requirements for the rectangles of a rectangular layout can be specified in various ways, most commonly via the dual graph of the layout. We show how to find an area-universal layout for a given set of adjacency requirements whenever such a layout exists.

研究の動機と目的

• 長方形レイアウトが面積ユニバーサルであるための必要十分条件を特定すること。
• 任意の与えられたレイアウトに対して、指定された面積割り当てを満たす同相なレイアウトを計算するアルゴリズムを開発すること。
• 類似の一意性と計算可能性の結果を得るために、周囲長割り当てへの分析を拡張すること。
• 隣接制約（双対グラフやスパニングツリーを介して）から面積ユニバーサルレイアウトを構築すること。
• スライス可能またはL字形状に分解可能な特殊クラスにとどまらず、統一的な特徴づけを提供すること。

提案手法

• 一方的レイアウトを、すべての最大線分が長方形の辺であり、T字接続の向きが一貫してその線分から離れるように定義する。
• 線分の隣接に関する組合せ的・幾何的制約を用いて、レイアウトが面積ユニバーサルであることと、それが一方的であることの必要十分条件を証明する。
• 任意の一方的レイアウトに対して、与えられた面積割り当てに一致する（スケーリングを除き）レイアウトを計算する数値的アルゴリズムを提案する。
• 任意のレイアウトと面積割り当てに対して、高々1つの同相なレイアウトが存在することを示し、一意な解の回復が可能であることを保証する。
• 一意性の結果を周囲長割り当てへと拡張し、存在の判定と解の計算が多項式時間で可能であることを証明する。
• 左ルート型レイアウトでは部分木を右に、下ルート型レイアウトでは上に再帰的に配置することで、与えられた双対スパニングツリーから一方的であることを保証する面積ユニバーサルレイアウトを構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの長方形レイアウトがその領域への任意の面積割り当てを実現可能であるか。
• RQ2 与えられたレイアウトと面積割り当てに対して、スケーリングを除き一意なレイアウトが計算可能か。
• RQ3 どの双対グラフが面積ユニバーサル長方形レイアウトを許容するか。
• RQ4 与えられた隣接制約から、効率的に面積ユニバーサルレイアウトを構築可能か。
• RQ5 面積割り当てに関する結果は、周囲長割り当てへどのように拡張可能か。

主な発見

• 長方形レイアウトが面積ユニバーサルであることと、すべての最大線分がT字接続の向きが一貫した長方形の辺である「一方的」であることとは同値である。
• 任意の長方形レイアウトと任意の面積割り当てに対して、高々1つの同相なレイアウト（スケーリングを除き）が存在し、解の一意性が保証される。
• 一方的レイアウトに対して、与えられた面積割り当てに近い面積を達成するレイアウトを計算する数値的アルゴリズムが存在する。
• 与えられた双対スパニングツリーから、再帰的配置戦略（左ルート型では右、下ルート型では上）を用いて、線形時間で面積ユニバーサルレイアウトを構築可能であり、一方的性を保証する。
• 周囲長割り当てに対しても、同様の同型性と計算可能性の結果が成り立ち、存在の判定と解の計算が多項式時間で可能である。
• 本手法は、スライス可能またはL字形状に分解可能な特殊クラスにとどまらず、面積ユニバーサル性の広範な特徴づけを提供する。