[論文レビュー] Arens Regularity and Module Arens Regularity of Module Actions

Kazem Haghnejad Azar|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、バナッハ代数の右および左モジュール作用へ、Arens正則性およびモジュールArens正則性を拡張し、モジュール作用のための位相的中心を導入し、関連写像の弱コンパクト性および annihilator 条件を用いてモジュールArens正則性を特徴づけている。主な貢献は、モジュールArens正則性の必要十分条件を提示することである：モジュール作用の三重拡張およびその転置三重拡張の差が、特定のイデアル $ J $ の二重 annihilator に属することであり、正則性がモジュールおよび代数の構造と関連していることを示している。

ABSTRACT

In this paper, we extend some problems from Arens regularity and module Arens regularity of Banach algebras to module actions.

研究の動機と目的

• バナッハ代数からのArens正則性を、特に右および左バナッハモジュール構造に対して一般化すること。
• 左および右モジュール作用の両方について、特に $ Z_{A^{**}}(B^{**}) $ および $ Z_{B^{**}}(A^{**}) $ を含むモジュール作用の位相的中心を定義・分析すること。
• 右バナッハ $ A $-モジュール $ B $ のモジュールArens正則性の必要十分条件を確立し、弱コンパクト性および annihilator イデアルと関連付けること。
• 既知のArens正則性に関する結果を統一・拡張し、$ B = A $ のとき、[5] や [10] からの古典的定理（例：[10] の補題3.1(i) や [5] の定理2.6.17）を特別な場合として回復すること。

提案手法

• 二重線形モジュール作用 $ \rho: B \times A \to B $ に対して、三重双対拡張の弱*-から弱*への連続性を用いて、位相的中心 $ Z_1(\rho) $ および $ Z_2(\rho) $ を定義する。
• モジュール作用 $ \rho $ の三重双対拡張 $ \rho^{***} $ および $ \rho^{t***t} $ を構成し、それらを比較してArens正則性を定義する。
• 要素 $ a_1 b a_2 - b a_1 a_2 $ で生成されるイデアル $ J \triangleleft A $ を導入し、その annihilator $ J^\bot $ を定義する。これにより、写像 $ T_{b'}: b \to b'b $ に対する $ A $-モジュール準同型条件が特徴づけられる。
• ゴールドシュタインの定理を用いて、$ A^{**} $ および $ B^{**} $ の要素を $ A $ および $ B $ のネットの弱*-極限として表現し、反復極限の分析を可能にする。
• モジュールArens正則性と条件 $ \rho^{***}(b^{**}, a^{**}) - \rho^{t***t}(b^{**}, a^{**}) \notin J^{\bot\bot} $ が同値であることを確立し、正則性が $ J $ の二重 annihilator と関連していることを示す。
• モジュールArens正則性が、$ b' \notin J^\bot $ のとき写像 $ T_{b'}: b \to b'b $ の弱コンパクト性と同値であり、かつ反復極限の可換性を満たす $ B^* $ の稠密な線型包を有することが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 右モジュール作用 $ \rho_r: B \times A \to B $ がモジュールArens正則であるための条件は何か？
• RQ2 位相的中心 $ Z_{A^{**}}(B^{**}) $ および $ Z_{B^{**}}(A^{**}) $ は、モジュール作用の三重双対拡張の弱*-から弱*への連続性とどのように関係しているか？
• RQ3 要素 $ a_1 b a_2 - b a_1 a_2 $ で生成されるイデアル $ J \triangleleft A $ は、モジュールArens正則性の特徴づけにおいて果たす役割は何か？
• RQ4 写像 $ T_{b'}: b \to b'b $ の弱コンパクト性は、$ b' \notin J^\bot $ のとき反復極限 $ \nolimits_{m}\nolimits_{n} \to \nolimits_{n}\nolimits_{m} $ の可換性とどのように関連しているか？
• RQ5 $ B = A $ のとき、結果が [5] や [10] の既知の定理をどのように回復または一般化するか？

主な発見

• 二重線形写像 $ \rho_r: B \times A \to B $ がモジュールArens正則であるための必要十分条件は、$ J $ が $ a_1 b a_2 - b a_1 a_2 $ で生成される閉じた右イデアルであるとき、すべての $ a^{**} \notin A^{**} $、$ b^{**} \notin B^{**} $ に対して $ \rho_r^{***}(b^{**}, a^{**}) - \rho_r^{t***t}(b^{**}, a^{**}) \notin J^{\bot\bot} $ が成り立つことである。
• モジュールArens正則性が成り立つための必要十分条件は、すべての $ b' \notin J^\bot $ に対して写像 $ T_{b'}: b \to b'b $ が $ B $ から $ A^* $ への弱コンパクト写像であることであり、かつ $ T_{b'} $ が弱コンパクトであれば $ T_{b'a} $ が $ A $-モジュール準同型であることも成り立つ。
• 位相的中心 $ Z_{A^{**}}(B^{**}) $ が $ B^{**} $ に等しいための必要十分条件は、各 $ b' \notin J^\bot $ に対して写像 $ b \to \rho_r^*(b', b) $ が $ B $ から $ A^* $ への弱コンパクト写像であることである。
• 条件 $ \rho_r^{***}(b^{**}, a^{**}) - \rho_r^{t***t}(b^{**}, a^{**}) \notin J^{\bot\bot} $ は、すべての $ b' \notin J^\bot $ に対して反復極限 $ \nolimits_{m}\nolimits_{n} \to \nolimits_{n}\nolimits_{m} $ が等しくなることと同値であり、両極限が存在するとき常に成り立つ。
• 写像 $ b^{\bar{}} \to \rho_r^{***}(b^{\bar{}}, a^{**}) $ がすべての $ a^{**} \notin A^{**} $ に対して $ \sigma(B^{**}, J^\bot) $-連続であるための必要十分条件は、$ \rho_r $ がモジュールArens正則であることである。
• $ B = A $ のとき、結果は [10] の補題3.1(i) および [5] の定理2.6.17 を回復し、既存の文献と整合性があることを示している。