[論文レビュー] Arithmetic and growth of periodic orbits

Yash R. Puri, Thomas Ward|Durham Research Online (Durham University)|Jul 1, 1999

Cellular Automata and Applications参考文献 10被引用数 40

ひとこと要約

この論文は、整数列が動的系における周期的点の数を正確にまたは漸近的に表現できる条件を調査する。Möbius変換を用いて、正確な実現可能性とレートにおける実現可能性という2つの性質を導入し、ある写像のもとで生じる周期的点の数としての列を特徴づける。これにより、このような列が満たすべき必要十分な算術的条件が確立される。

ABSTRACT

We give necessary and sufficient conditions for a sequence to be exactly realizable as the sequence of numbers of periodic points in a dynamical system. Using these conditions, we show that no non-constant polynomial is realizable, and give some conditions on realizable binary recurrence sequences. Realization in rate is always possible for sufficiently rapidly-growing sequences, and is never possible for slowly-growing sequences. Finally, we discuss the relationship between the growth rate of periodic points and the growth rate of points with specified least period.

研究の動機と目的

• ある動的写像のもとで、整数列が周期的点の数と正確に一致する条件を特定すること。
• 列が周期的点の数に漸近的に近似できるかを分析し、「レートにおける実現可能性」という概念を定義すること。
• 実現可能であるためには、Möbius変換後に非負かつ $ n $ で割り切れるという算術的制約——特に可除性と非負性——を満たす必要があることを同定すること。
• 動的系と数論的列——特に OEIS に掲載された列——との関係を接続すること。
• 既知または予想される正確な実現可能性を持つ OEIS 列の体系的な表を提供すること。

提案手法

• 周期的点の列 $ f_n(T) $ と最小周期点の列 $ f_n^*(T) $ の間の関係を、$ f_n^*(T) = \sum_{d|n} \mu(n/d) f_d(T) $ を用いてMöbius変換で関係づける。
• 必要十分条件を適用：列 $ \phi \in \mathcal{ER} $ に対して、すべての $ n \geq 1 $ に対して $ \sum_{d|n} \mu(n/d) \phi_d $ が非負かつ $ n $ で割り切れる必要がある。
• トーラル自己同型、有限型の符号的符号、$ S $-整数系といった動的系の例を用いて、$ \mathcal{ER} $ に属する列を生成する。
• 既知の OEIS 列——フィボナッチ数、ルカス数、二項係数、既約多項式の個数など——を用いて実現可能性を検証する。
• 素数 $ n $ に対して $ f_n(T) \equiv f_1(T) \mod n $ という構造を、実現可能性の必要条件として用いる。
• OEIS 列の表を構築し、既知または予想される正確な実現可能性を示し、動的系の出典をメモとして付記する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの整数列が動的系における周期的点の数として正確に実現可能か？
• RQ2 列が周期的点の数として実現可能であるために満たすべき算術的条件は何か？
• RQ3 周期的点の列の成長率とその軌道数の関係は何か？
• RQ4 OEIS に掲載された列の中で、正確に実現可能とされているか、予想されているものはどれか？
• RQ5 トーラル自己同型や有限型符号といった動的系が、実現可能性の条件を満たす列を生成できるか？

主な発見

• 列 $ \phi $ が正確に実現可能であるための必要十分条件は、すべての $ n \geq 1 $ に対して $ \sum_{d|n} \mu(n/d) \phi_d \geq 0 $ かつ $ n $ で割り切れる、という条件であり、完全な特徴づけが得られる。
• フィボナッチ数列（A000045）は $ \mathcal{ER} $ に属さない。なぜなら $ f_3 - f_1 = 2 - 1 = 1 $ であり、3で割り切れないからである。
• ルカス数列（A000204）は $ \mathcal{ER} $ に属する。黄金比シフトから生じるため、動的構成によって実現可能性が確認される。
• 任意の行列 $ A \in GL_k(\mathbb{Z}) $ に対して、列 $ \det(A^n - I) $ はすべての素数 $ n $ に対して $ \det(A^n - I) \equiv \det(A - I) \mod n $ を満たす。これは実現可能性の必要条件である。
• 体 $ \mathbb{F}_2 $ 上の次数 $ n $ の既約多項式の個数を表す列 $ f_n = 2^n $ は $ \mathcal{ER} $ に属する。これは2文字のフルシフトに対応する。
• 20以上のOEIS列の表が作成され、そのうち12個が正確に実現可能と確認された。A001037（既約多項式）、A007727（ビードの文字列）、A004146（トーラル自己同型）などが含まれ、動的系の出典をメモとして付記している。