[論文レビュー] Arithmetic Circuits and the Hadamard Product of Polynomials

V. Arvind, Pushkar S. Joglekar+1 more|ArXiv.org|Jul 23, 2009

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、多変数非可換多項式のハダマード積を定義し、算術回路および代数的ブランチングプログラム（ABPs）におけるその複雑さを確立する。非可換ABPの恒等的検証は、有理数上でC=L完全であり、特性pの有限体上でModpL/polyに属する。主な貢献は、Raz-Yehudayoff多項式を2つの単調な多項式のハダマード積として表現する際の指数的下界を示したことである。これは、恒等的検証において、パーマネントは2次多項式サイズの表現を許容するのに対し、本多項式はそのような表現を許さないという、根本的な非対称性を示している。

ABSTRACT

Motivated by the Hadamard product of matrices we define the Hadamard product of multivariate polynomials and study its arithmetic circuit and branching program complexity. We also give applications and connections to polynomial identity testing. Our main results are the following. 1. We show that noncommutative polynomial identity testing for algebraic branching programs over rationals is complete for the logspace counting class $\ceql$, and over fields of characteristic $p$ the problem is in $\ModpL/\Poly$. 2.We show an exponential lower bound for expressing the Raz-Yehudayoff polynomial as the Hadamard product of two monotone multilinear polynomials. In contrast the Permanent can be expressed as the Hadamard product of two monotone multilinear formulas of quadratic size.

研究の動機と目的

• 算術回路複雑さの文脈において、多変数非可換多項式のハダマード積を定義し、分析すること。
• 有理数および有限体上の代数的ブランチングプログラム（ABPs）における非可換多項式の恒等的検証（PIT）の複雑さを特徴づけること。
• 特定の明示的な単調な多項式の線形多項式を、2つの単調な多項式のハダマード積として表現する際の指数的下界を確立すること。
• ハダマード積フレームワークを用いて、有理数上の非可換ABP恒等的検証をタイトに特徴づけること。
• パーマネントと比較して、Raz-Yehudayoff多項式におけるハダマード積の表現力の違いを明らかにし、回路複雑さにおける根本的な非対称性を示すこと。

提案手法

• 2つの非可換多項式fとgのハダマード積を、f = Σ_m a_m mおよびg = Σ_m b_m m（mは自由モノイドX*の単項式）と表したとき、f ◦g = Σ_m a_m b_m mとして定義する。
• NisanによるABP複雑さの通信行列のランクによる特徴づけを活用し、f ◦gのABPサイズをfとgのABPサイズの積で上界付ける。
• 行列のハダマード積のランクに基づく上界を用いて、f ◦gのABPを決定的logspaceで計算するアルゴリズムを構築する。
• 明示的なRaz-Yehudayoff多項式Fと1/3積多項式の積との相関分析を用いて、下界を導出する。
• RazとYehudayoffの補題3を適用し、単調な多項式の線形多項式を1/3積多項式の和に分解する。
• 三角不等式と補題2の相関上界を用いて、ハダマード積表現を計算する単調回路のサイズに対する下界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有理数上の非可換多項式の恒等的検証（PIT）のABP複雑さは何か？
• RQ2 2つの線形多項式のハダマード積は、特に単調な設定において、その回路複雑さにどのように影響を与えるか？
• RQ3 Raz-Yehudayoff多項式は、2つの小さいサイズの単調な線形多項式のハダマード積として表現可能か？
• RQ4 多項式のハダマード積と複雑さクラスC=LおよびModpLとの関係は何か？
• RQ5 パーマネントとRaz-Yehudayoff多項式において、単調な線形多項式の設定におけるハダマード積の表現力はどのように異なるか？

主な発見

• 有理数上の非可換ABP恒等的検証はC=L完全であり、タイトな複雑さ特徴づけを提供する。
• 特性pの有限体上では、非可換ABP恒等的検証はModpL/polyに属し、かつlogspace多対一還元においてNLおよびModpLの両方の下界を満たす。
• Raz-Yehudayoff多項式は、ある絶対定数α > 0に対して、2^αn未満のサイズの単調回路で計算される2つの単調な線形多項式のハダマード積として表現できない。
• パーマネントは、2つのこのような多項式のハダマード積として2次多項式サイズの単調な線形多項式の式として表現可能であり、Raz-Yehudayoff多項式とは明確な対比を示している。
• Raz-Yehudayoff多項式Fと任意の1/3積多項式のハダマード積f1 ◦ f2との相関は、あるα > 0に対して2^−αn ||F|| ||f1 ◦ f2||未満である。この関係により、下界の証明が可能になる。
• 下界構築により、明示的な単調な線形多項式F′ ∈ ℚ[x1,…,xn]が得られ、それが2つの単調な線形多項式のハダマード積として表現するには指数的サイズの単調回路が必要であることが示された。