[論文レビュー] Arithmetic degrees of special cycles and derivatives of Siegel Eisenstein series

Jan Hendrik Bruinier, Tonghai Yang|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2018

Advanced Algebra and Geometry参考文献 37被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、Kudlaが提唱した予想を証明し、正規化された特殊サイクルの算術次数が、非一貫なSiegel Eisenstein級数の中心導関数に関連することを示している。アーベル的および非アーベル的場所における新しい局所算術Siegel-Weil公式を用いて、$T$ が正定値でない非特異的インデックス $T$ に対して、および対応するサイクルの次元がゼロである正定値 $T$ に対して、恒等式を確立した。

ABSTRACT

Let V be a rational quadratic space of signature (m,2). A conjecture of Kudla relates the arithmetic degrees of top degree special cycles on an integral model of a Shimura variety associated with SO(V) to the coefficients of the central derivative of an incoherent Siegel Eisenstein series of genus m+1. We prove this conjecture for the coefficients of non-singular index T when T is not positive definite. We also prove it when T is positive definite and the corresponding special cycle has dimension 0. To obtain these results, we establish new local arithmetic Siegel-Weil formulas at the archimedean and non-archimedian places.

研究の動機と目的

• 整数的モデルの直交Shimura多様体上の最高次元特殊サイクルの算術次数が、非一貫なSiegel Eisenstein級数の中心導関数の係数に関連することを示す。
• 古典的Siegel-Weil公式を算術的設定に拡張するため、アーベル的および非アーベル的場所における局所算術Siegel-Weil公式を確立する。
• 非特異的インデックス $T$ に対して、$T$ が正定値でない場合、および対応する特殊サイクルの次元がゼロである正定値 $T$ の場合に、予想を検証する。
• Siegelモジュラー形式および $L$-関数の観点から、特殊サイクルの算術的交差理論のより洗練された理解を提供する。
• $p$-ユニモジュラー格子および局所系の文脈において、算術Siegel-Weil公式を $p$--adicおよびアーベル的寄与を含む形に一般化する。

提案手法

• 対称空間 $\mathcal{D}$ 上でのWeil表現およびtheta級数を用いて、アーベル的および非アーベル的場所における新しい局所算術Siegel-Weil公式を確立する。
• Kudla-Millsonのシュワーツ関数 $\varphi_{KM}^n(x,z)$ を用いて、$\mathrm{Sp}_n(\mathbb{R})$ に対して重み $\kappa = 1 + m/2$ で変換するtheta級数 $\theta_{KM}^n(\tau,\varphi,z,h)$ を構成する。
• Shimura多様体 $X_K$ 上でtheta級数を統合し、特殊サイクルの次数の生成関数を得る。この生成関数がSiegel Eisenstein級数に等しいことが示された。
• 二重化法および $p$--adic均質化を用いて、算術次数 $\widehat{\deg}_p(\mathcal{Z}(T))$ を標準 $L$-関数の導関数と関連づけ、$W_{T,p}^\prime(1,0,\lambda(\varphi_L))$ を通じて表現する。
• 正規化定数 $C_{n,p} = -B_{n,\infty} \frac{C(L)}{\mathrm{vol}(K,d_L h)}$ を用いて、Eisenstein級数のフーリエ係数と算術次数を一致させる。
• 文献[She, Theorem 1.2]の $p$-adic均質化恒等式を活用し、$\mathcal{X}_{K_1} \to \mathcal{X}_K$ を通じた降下により、一般のコン pact開部分群 $K$ への公式の拡張を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 直交Shimura多様体上の最高次元特殊サイクルの算術次数は、非一貫なSiegel Eisenstein級数の中心導関数の係数と一致するか？
• RQ2 アーベル的および非アーベル的場所における局所算術Siegel-Weil公式を確立でき、グローバルな予想を支持できるか？
• RQ3 インデックス $T$ が正定値でない、またはサイクルの次元がゼロである場合、算術次数はどのように振る舞うか？
• RQ4 算術次数とEisenstein級数の導関数を結ぶ正確な正規化定数は何か？
• RQ5 予想は $p$-ユニモジュラー格子および小規模なレベル部分群の範囲を超えて、どの程度まで拡張可能か？

主な発見

• 非特異的インデックス $T$ に対して、$T$ が正定値でない場合、予想が証明され、算術次数と非一貫なSiegel Eisenstein級数の中心導関数の間の明確な関係が確立された。
• 正定値 $T$ に対して、対応する特殊サイクルの次元がゼロである場合にも予想が証明され、次元ゼロのサイクルのケースにまでその有効性が拡張された。
• 有限素数 $p$ における算術次数は $\widehat{\deg}_p(\mathcal{Z}(T)) = C_{n,p} \cdot E_T'(\tau,0,\lambda(\varphi_L)\otimes\Phi_\kappa)$ で与えられ、$C_{n,p} = -B_{n,\infty} \frac{C(L)}{\mathrm{vol}(K,d_L h)}$ である。
• アーベル的寄与は $-\frac{1}{2}B_{n,\infty} \cdot W_{T,\infty}(1,0,\Phi_\kappa) = e^{-2\pi \operatorname{tr} T}$ を満たし、生成関数に $q^T$ をもたらす。
• 降下により、$K$-不変なシュワーツ関数 $\varphi$ および十分に小さなコン pact開部分群 $K$ に対して、公式が成立する。
• $p$--adic場所における局所算術Siegel-Weil公式の変種は、$p < \infty$ に対して $\mathrm{ht}_p(x)\log p = \frac{W_{T,p}^\prime(1,0,\lambda(\varphi_L))}{W_{\tilde{T},p}^\prime(1,0,\lambda(\varphi_L))}$ と与えられ、無限大においても同様の式が $\frac{1}{2}$ の係数を含んで表れる。