[論文レビュー] Arithmetic differential equations on $GL_n$, I: differential cocycles

Alexandru Buium, Taylor Dupuy|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、微分代数における対数的導関数の類似物である古典的算術微分コサイクルが、導関数がフェルマー商に置き換えられる算術的設定では $GL_n$ 上に存在しないことを確立している。主な結果は、いかなるコサイクルも同時に $δ$-整合的かつ正則であることは不可能であることを示しており、線形算術微分方程式を定義するには歪算術コサイクルと新しいリーブラケット構造が必要であることを示唆している。

ABSTRACT

The theory of differential equations has an arithmetic analogue in which derivatives are replaced by Fermat quotients. One can then ask what is the arithmetic analogue of a linear differential equation. The study of usual linear differential equations is the same as the study of the differential cocycle from $GL_n$ into its Lie algebra given by the logarithmic derivative. However we prove here that there are no such cocycles in the context of arithmetic differential equations. In sequels of this paper we will remedy the situation by introducing arithmetic analogues of Lie algebras and a skew version of differential cocycles; this will lead to a theory of linear arithmetic differential equations.

研究の動機と目的

• 微分代数における導関数がフェルマー商に置き換えられる算術的設定において、$GL_n$ 上に古典的 $δ$-コサイクルが存在するかを特定すること。
• 対数的導関数の構成による線形算術微分方程式の定義における障害を調査すること。
• 標準的コサイクル構造の失敗を特定することで、線形算術微分方程式理論の基盤を築くこと。
• $GL_n$ 上に正則かつ $δ$-整合的な古典的コサイクルが存在しないことを証明し、新たな代数的構造の必要性を示すこと。
• 後続の論文で歪 $δ$-コサイクルとリーブラケットの算術的類似物を導入するための土台を整えること。

提案手法

• 完全な離散的付値環 $R$ を用いた $δ$-算術的設定を採用し、その残渣体を $\mathbb{F}_p^a$ とし、$p$-微分作用素 $\delta$ を $\delta x = (\phi(x) - x^p)/p$ で定義する。
• 付随する作用の下で、$f(g_1g_2) = f(g_1) + g_1 \star f(g_2)$ を満たす古典的 $δ$-コサイクル $f: GL_n(R) \to \mathfrak{gl}_n(R)$ を定義する。
• $GL_n$ の上三角行列で下部右ブロックが単位行列であるようなボレル部分群 $H \subset GL_n$ の構造を用いて、$f$ を $H$ に制限して分析する。
• ブルア・分解を介したコサイクル条件と有理的セクションの議論により、$H$ からの正則性を $GL_n$ 全体へ拡張する。
• $δ$-整合性の概念を導入し、$f$ が $δ$-写像の下でリーブラケット構造を保存することを要求する、より強い正則性条件を課す。
• 共役作用を $GL_n(R^\delta)$ を用いて行い、表現論的議論と次元数え上げを用いて、非スカラー行列が $δ$-整合性のもとで矛盾を引き起こすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 算術的微分設定において、$GL_n$ 上に古典的 $δ$-コサイクルが存在するか？
• RQ2 微分代数における対数的導関数の構成を、算術的微分方程式へ一般化できるか？
• RQ3 標準的コサイクル構造による線形算術微分方程式の定義における障害は何か？
• RQ4 なぜ古典的 $δ$-コサイクルは同時に $δ$-整合的かつ正則であることができないのか？
• RQ5 一貫性のある線形算術微分方程式理論を定義するために、どのような新しい代数的構造が必要か？

主な発見

• 算術的設定において、$GL_n \to \mathfrak{gl}_n$ への古典的 $δ$-コサイクル $f$ は正則かつ $δ$-整合的であることはあり得ない。
• 任意のこのようなコサイクルをボレル部分群 $H$ に制限したとき、正則性を保つが、追加の制約が満たされない限り、この正則性は大域的に拡張できない。
• $δ$-整合性条件は、コサイクルが $f(g) = f^v(g) + \epsilon \cdot \delta g \cdot g^{-1}$ の形に分解されることを要求するが、これは $v$ がスカラーでない限り矛盾を引き起こす。
• 非スカラー行列 $v$ は、$GL_n(R^\delta)$ の元による共役作用の下で $uvu^{-1}$ の非対角成分を生じさせ、$δ$-整合性条件を破る。
• $f^v$ が共役作用の下でリーブラケット構造を保存しない限り、$v$ がスカラーでない限り、これは不可能であるため、対数的導関数のスカラー倍しか残らない。
• この結果は、古典的コサイクルでは線形算術微分方程式理論を構築することが不十分であり、後続の研究で歪コサイクルと新しい算術的リーブラケットが必要であることを示唆している。