[論文レビュー] Arithmetic E_8 lattices with maximal Galois action

Anthony Várilly‐Alvarado, David Zywina|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2008

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、Q(t) 上の楕円曲線および1次のデル・ペッツォ表面から生じるE8格子の明示的な算術的例を構成し、そのMordell-Weil格子または幾何的ピック群へのガロア作用が最大であり、全Weyl群W(E8)に同型である例を提示する。105を法として定義されるワイエルシュトラスモデルおよびデル・ペッツォ表面を用いて、E8格子上のガロア表現が全射であることを証明し、Qの上に無限個の線型独立なガロア拡大体がW(E8)をガロア群として持つことを得る。

ABSTRACT

We construct explicit examples of E_8 lattices occurring in arithmetic for which the natural Galois action is equal to the full group of automorphisms of the lattice, i.e., the Weyl group of E_8. In particular, we give explicit elliptic curves over Q(t) whose Mordell-Weil lattices are isomorphic to E_8 and have maximal Galois action. Our main objects of study are del Pezzo surfaces of degree 1 over number fields. The geometric Picard group, considered as a lattice via the negative of the intersection pairing, contains a sublattice isomorphic to E_8. We construct examples of such surfaces for which the action of Galois on the geometric Picard group is maximal.

研究の動機と目的

• Mordell-Weil格子または幾何的ピック群へのガロア作用が最大となる算術的設定におけるE8格子の明示的例を構成すること。
• 楕円曲面およびデル・ペッツォ表面から生じる算術的格子を用いて、Q上での全Weyl群W(E8)をガロア群として実現すること。
• Mordell-Weil格子がE8に同型であり、かつ最大のガロア作用を持つ、Q(t) 上の明示的で構成可能なワイエルシュトラスモデルの楕円曲線を提供すること。
• 1次デル・ペッツォ表面の幾何的ピック群における標準類の直交補空間へのガロア作用がW(E8)上へ全射であることを示すこと。

提案手法

• a(t), b(t), c(t) がそれぞれ次数 ≤2, 4, 6 である多項式であり、105を法として特定の合同条件を満たすワイエルシュトラスモデル y² = x³ + a(t)x² + b(t)x + c(t) を用いて、Q(t) 上の楕円曲線Eを構成する。
• Mordell-Weil格子の理論を用いて、E(Q(t))/E(Q(t))tors がガロアモジュールとしてE8格子に同型であることを示す。
• 重み付き射影空間における6次同次方程式を用いて、Q上に1次のデル・ペッツォ表面を構成し、係数が105を法として合同条件を満たすようにする。
• ガロア表現の明示的計算を通じて、標準類の直交補空間K⊥_X におけるガロア作用がW(E8)に同型であることを証明する。
• ブローアップおよび除法の引き戻しを用いて、楕円曲面のMordell-Weil格子とデル・ペッツォ表面のピック群におけるE8格子の間の同型を確立する。
• Néron-Severi群および標準高さ対の既知の結果を活用し、基底変換および商写像の下で格子構造およびガロアモジュール構造が保存されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Mordell-Weil格子がE8に同型であり、かつW(E8)に同型で最大のガロア作用を持つような、Q(t) 上の明示的楕円曲線を構成できるか？
• RQ2 幾何的ピック群（特にK⊥_X）へのガロア作用がW(E8)上へ全射であるような、Q上に1次デル・ペッツォ表面が存在するか？
• RQ3 105を法として合同条件を満たす多項式係数を持つワイエルシュトラスモデルを用いて、このようなガロア作用を実現できるか？
• RQ4 算術的格子を用いて、W(E8)をガロア群とする無限個の線型独立なQのガロア拡大体を構成できるか？
• RQ5 1次デル・ペッツォ表面の幾何は、楕円曲面の算術およびそれらのMordell-Weil格子とどのように関係するか？

主な発見

• 105を法として指定された合同条件を満たすa(t), b(t), c(t) を持つ、y² = x³ + a(t)x² + b(t)x + c(t) で定義されるQ(t) 上の楕円曲線Eは、Mordell-Weil群E(Q(t))が自明な torsion を持つE8格子に同型である。
• ガロア群Gal(Q/Q) はE(Q(t))に全Weyl群W(E8)として作用するため、作用は最大である。
• 105を法として合同条件(1.3)を満たす係数を持つ6次多項式fを用いて重み付き射影空間に定義されるデル・ペッツォ表面Xは、Q上に1次の表面であり、幾何的ピック群にE8格子を含む。
• ガロア表現φX: Gal(Q/Q) → O(K⊥_X) は全射であり、したがって像はW(E8)に同型である。これにより、E8格子への最大ガロア作用が確認される。
• 有理点の形(1.2)から係数を消去して得られる多項式の分解体LX のガロア群はW(E8)に同型であり、このような体LX はQ上線型独立である。
• 合同条件(1.3)を満たす定義多項式fを変化させることで、W(E8)をガロア群とする無限個の線型独立なQのガロア拡大体が構成される。