[論文レビュー] Arithmetic functions at consecutive shifted primes

Paul Pollack, Lola Thompson|arXiv (Cornell University)|May 17, 2014

Analytic Number Theory Research参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、{φ, σ, ω, τ} に属する任意の算術関数について、その値が厳密に増加または減少するような K 個の連続したシフト済み素数 (pₙ−1, ..., pₙ₊ₖ₋₁−1) の連続する列が無限に存在することを示している。この研究は、メイナード–トウの素数の有界間隔に関する手法を拡張し、このような単調な振る舞いが無限回発生することを証明している。さらに、連続する素数における桁和関数 s₉(p) が、任意に長い定数、増加、減少の列を示すことも証明しており、未解決のディクソンの予想やハイポテーシス H に依存しない長年のシエルピニスキの問いを解決している。

ABSTRACT

For each of the functions $f \in \{ϕ, σ, ω, τ\}$ and every natural number $k$, we show that there are infinitely many solutions to the inequalities $f(p_n-1) < f(p_{n+1}-1) < \dots < f(p_{n+k}-1)$, and similarly for $f(p_n-1) > f(p_{n+1}-1) > \dots > f(p_{n+k}-1)$. We also answer some questions of Sierpiński on the digit sums of consecutive primes. The arguments make essential use of Maynard and Tao's method for producing many primes in intervals of bounded length.

研究の動機と目的

• 算術関数 f ∈ {φ, σ, ω, τ} について、f(pₙ−1) < f(pₙ₊₁−1) < ⋯ < f(pₙ₊ₖ₋₁−1) を満たす K 個の連続したシフト済み素数が無限に存在することを確立すること。
• 連続する素数における桁和 s₉(p) が、任意に長い期間にわたり定数、増加、減少する可能性があるかどうかという、シエルピニスキが1961年に提起した問いを解消すること。
• このような算術関数の単調な振る舞いが、ディクソンの予想やハイポテーシス H といった未解決の予想に依存しないことの証明。
• メイナード–トウ法を、素数そのものではなく、シフトされた素数引数における乗法的および加法的関数を扱えるように拡張すること、特に有界間隔の文脈で。

提案手法

• 有界区間における多くの素数を生成するためのメイナード–トウ法を用い、それを連続する素数 pₙ における f(pₙ−1) の値を分析できるように適合させている。
• 小さな素数の法における n の局所的挙動を制御するため、W = ∏_{p ≤ log₃ N} p を用いた事前篩い条件を適用し、有利な分布を持つシフト済み素数の配置を確保している。
• S₁ および S₂ という重み付き和を用いて、n + H の複数の要素が素数であるような構成を検出しており、S₂/S₁ > K−1 であれば、少なくとも K 個の素数がタプルに含まれることを示している。
• 平方完全な因子の構造と、ϱ(n) を通じた素因数分解の個数を用いて、n + hᵢ − 1 に多数の高重複度素因数を持つような n の個数を制限している。
• バンクス–フリーバーグ–ターナージ・バターbaughが提示したメイナード–トウ定理の変種を用い、所望の桁和の性質を持つ K 個の連続する素数を含む等差数列を構成している。
• ドリモータ–モードゥイット–リヴァーの定理による桁和 s₉(p) の漸近的等分布性を活用し、ダイアディック区間内で特定の桁和を持つ素数を選択している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 φ(pₙ−1) < φ(pₙ₊₁−1) < ⋯ < φ(pₙ₊ₖ₋₁−1) を満たす K 個の連続する素数が無限に存在するか？
• RQ2 同様の単調な振る舞いは、σ(pₙ−1)、ω(pₙ−1)、τ(pₙ−1) に対しても、任意の長い K に対して成立するか？
• RQ3 桁和 s₉(p) が、連続する素数の任意に長い列において、定数、増加、または減少を保つことができるか？
• RQ4 ディクソンの素数 k-タプル予想やハイポテーシス H に依存せずに、このような連続列の存在を証明することは可能か？
• RQ5 メイナード–トウ法を、素数そのものではなく、シフトされた素数における算術関数の値を分析できるように拡張できるか？

主な発見

• 各 f ∈ {φ, σ, ω, τ} および任意の K ≥ 1 に対して、f(pₙ−1) < f(pₙ₊₁−1) < ⋯ < f(pₙ₊ₖ₋₁−1) を満たす無限に多くの n が存在する。
• 同様に、各 f および K に対して、f(pₙ−1) > f(pₙ₊₁−1) > ⋯ > f(pₙ₊ₖ₋₁−1) を満たす無限に多くの n が存在する。
• 任意の g ≥ 2 に対して、s₉(p) が定数となる K 個の連続する素数の列が無限に存在する。
• 任意の K に対して、s₉(p) が厳密に増加または厳密に減少する K 個の連続する素数の列が無限に存在する。
• 結果は条件なしに成立する：ディクソンの予想やハイポテーシス H に依存しない。シエルピニスキの問いは決定的に解決された。
• 本手法は、素数の検出にとどまらず、シフトされた素数における算術関数の合成値を扱えるように、メイナード–トウの枠組みを効果的に拡張した。