[論文レビュー] Arithmetic, geometry and dynamics in the unit tangent bundle of the modular orbifold

Alberto Verjovsky|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、モジュラー・オビフォールドの単位接 bundle 上におけるホロサイクルフローの力学とリーマン予想の間に深い接点を確立する。幾何学的およびエルゴディック理論的手段を用いて、特定のエルゴディック測度が不変測度に収束する速度が $ o(y^{1/2}) $ を超えることはできないことを証明し、特性関数の「ボックス」に関して指数 $ 1/2 $ が最適であることを示している。これは、リーマン・リーマンの補題が $ L^1 $ 関数でない関数に対して成立しないことと関連し、リーマン予想が本質的に正則性問題であることを示唆している。

ABSTRACT

Inspired by the work of Zagier, we study geometrically the probability measures $m_y$ with support on the closed horocycles of the unit tangent bundle $M= ext{PSL}(2,\mathbb{R})/ ext{PSL}(2,\mathbb{Z})$ of the modular orbifold $ ext{PSL}(2,\mathbb Z)$. In fact, the canonical projection $\mathfrak{p}:M o\mathbb{H}/ ext{PSL}(2,\mathbb Z)$ it is actually a Seifert fibration over the orbifold with two especial circle fibers corresponding to the two conical points of the modular orbifold. Zagier proved that $m_y$ converges to normalized Haar measure $m_o$ of $M$ as $y o0$: for every smooth function $f:M o \mathbb R$ with compact support $m_y(f)=m_0(f)+o(y^\frac12)$ as $y o0$. He also shows that $m_y(f)=m_0(f)+o(y^{\frac34-ε})$ for all $ε>0$ and smooth function $f$ with compact support in $M$ if and only if the Riemann hypothesis is true. In this paper we show that the exponent $\frac12$ is optimal if $f$ is the characteristic function of certain open sets in $M$. This of course does not imply that the Riemann hypothesis is false. It is required the differentiability of the functions in the theorem.

研究の動機と目的

• モジュラー・オビフォールドの単位接 bundle 上でのホロサイクルフローのエルゴディック測度 $ m_y $ が不変測度 $ \overline{m} $ に収束する速度を調査すること。
• ザイジェルのリーマン予想に関する基準における指数 $ 3/4 - \epsilon $ が、滑らか関数に対して達成可能かどうかを特定すること。
• 動的系における「ボックス」の特性関数に関して、指数 $ 1/2 $ が最適であることを示し、収束速度の向上に根本的な障害があることを示すこと。

提案手法

• 幾何学的および群論的技法を用いて、$ m_y $ から $ \overline{m} $ への収束解析を、平面における格子点数え上げ問題に還元する。
• 群 $ \mathrm{SL}(2,\mathbb{R}) $ 及びその離散的商 $ \mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z}) $ の作用を用いて、単位接 bundle $ T_1\mathbb{H} $ 上の力学をモデル化する。
• 滑らかで compact な台を持つ関数にポincare和公式を適用し、フーリエ変換の急速な減衰により、誤差項が $ y $ の任意のべきよりも速く減衰することを示す。
• 1パラメータ部分群 $ h_t^+ $ および $ h_t^- $、および測地線フロー $ g_t $ を用いてホロサイクルフローを分析し、これらはすべて正規化されたハール測度 $ \overline{m} $ を保存する。
• ダニの定理に依拠し、周期 $ y^{-1} $ の閉じたホロサイクルに台を持つエルゴディック測度 $ m_y $ が $ y \to 0 $ のとき弱*収束して $ \overline{m} $ に収束することを証明する。
• メリン変換およびイーゼンスタイン級数を用いて、力学と算術的関数（特にオイラーのトーティエント関数 $ \varphi(n) $）との関連を確立し、リーマン・ゼータ関数と接続する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン予想を特徴付ける収束速度 $ m_y(f) = \overline{m}(f) + o(y^{3/4 - \epsilon}) $ が、すべての滑らかでコンパクトな台を持つ関数 $ f $ に対して達成可能か？
• RQ2 関数 $ f $ が「ボックス」の特性関数であっても、誤差項における指数 $ 1/2 $ が最適であるか？
• RQ3 指数 $ y^{1/2} $ の最適性の背後にある幾何学的および力学的根拠は何か？また、格子点数え上げにおける円問題とどのように関連するか？
• RQ4 非 $ L^1 $ 関数に対してリーマン・リーマンの補題が成立しないことは、この力学系においてどのように現れ、なぜそれがリーマン予想を正則性問題として本質的に規定するのか？
• RQ5 ホロサイクル測度とディリクレ級数との間の関係、特にオイラーのトーティエント関数を介して、新たな算術的結果を導出可能か？

主な発見

• 単位接 bundle 上の「ボックス」の特性関数に関して、収束速度 $ m_y(f) = \overline{m}(f) + o(y^{1/2}) $ が最適であり、指数 $ 1/2 $ を改善することはできない。
• リーマン予想は、すべての滑らかでコンパクトな台を持つ関数 $ f $ に対して $ m_y(f) = \overline{m}(f) + o(y^{3/4 - \epsilon}) $ が成り立つという主張と同値であるが、この境界は特性関数に対して達成不可能である。
• 非 $ L^1 $ 関数に対してリーマン・リーマンの補題が成立しないことが、指数 $ y^{1/2} $ が最適である根本的要因であり、リーマン予想が本質的に正則性条件であることを示している。
• 滑らかでコンパクトな台を持つ関数 $ f $ に対しては、フーリエ変換の急速な減衰により、誤差項 $ |m_y(f) - \overline{m}(f)| $ が $ y $ の任意のべきよりも速く減衰する。これはポincare和公式によって示された。
• オイラーのトーティエント関数 $ \varphi(n) $ に関連する測度 $ \nu_{y,\varphi} $ のメリン変換から、リーマン予想が誤差項 $ y^2 \nu_{y,\varphi}(g) = \int_0^\infty \frac{6}{\pi^2} u g(u) du + o(y^{3/2 - \epsilon}) $ が $ y \to 0 $ のとき成り立つことと同値であることが明らかになった。
• 収束問題を平面における格子点数え上げ問題に幾何学的に還元することで、$ y^{1/2} $ の境界が、相対的に素な格子点を持つ古典的円問題の誤差項と類似していることが示された。