[論文レビュー] Arithmetic geometry of toric varieties. Metrics, measures and heights

José Ignacio Burgos Gil, Patrice Philippon+1 more|arXiv (Cornell University)|May 27, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、代数的体のアーベル的関数体上のトーリック多様体の高さを、多面体上の適切な凹関数族の積分として表す公式を確立する。アラケロフ幾何と凸解析を活用することで、トーリック多様体上のメトリック、測度、高さを、Legendre-Fenchel双対性、実Monge-Ampère測度、多面体複体といった対象と結びつける。これにより、区分的アフィン関数と線形形式を用いた形で高さを閉形式で計算可能となる。

ABSTRACT

We show that the height of a toric variety with respect to a toric metrized line bundle can be expressed as the integral over a polytope of a certain adelic family of concave functions. To state and prove this result, we study the Arakelov geometry of toric varieties. In particular, we consider models over a discrete valuation ring, metrized line bundles, and their associated measures and heights. We show that these notions can be translated in terms of convex analysis, and are closely related to objects like polyhedral complexes, concave functions, real Monge-Ampère measures, and Legendre-Fenchel duality. We also present a closed formula for the integral over a polytope of a function of one variable composed with a linear form. This allows us to compute the height of toric varieties with respect to some interesting metrics arising from polytopes. We also compute the height of toric projective curves with respect to the Fubini-Study metric, and of some toric bundles.

研究の動機と目的

• トーリックメトリシズドラインバンドルに関して、トーリック多様体の高さを多面体上での積分として表現すること。
• トーリック多様体のアラケロフ幾何と凸解析の間の橋渡しをすること。
• アーベル的関数族としての凹関数とその双対を用いた高さ計算のためのツールを開発すること。
• Fubini-Studyメトリックやトーリック曲線などの幾何的に意味のある状況において、高さの明示的公式を提供すること。
• 離散値環上のトーリックスキームへの高さ理論の一般化を行い、T-クリエイター除法子の正性性を研究すること。

提案手法

• アーベル的体上のトーリック多様体におけるメトリシズドラインバンドルを用い、アーベル的でない場合と非アーベル的でない場合を区別する。
• 非アーベル的メトリックをモデル化し、関連する測度を定義するためにBerkovich解析的空間を適用する。
• 幾何的データを凸解析的対象（凹関数やその上微分）に翻訳するためにLegendre-Fenchel双対性を用いる。
• 多面体上での一変数関数と線形形式の合成の積分に対して、閉形式の積分公式を導入する。
• 区分的アフィン凹関数とそのV表現を用いて、混合Monge-Ampère測度を計算する。
• 実Monge-Ampère測度を活用し、多面体上での凹関数族の積分としてトーリック多様体の高さを関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トーリック多様体の高さは、凸幾何とアーベル的関数の観点からどのように表現できるか？
• RQ2 トーリック多様体上のメトリシズドラインバンドルと多面体上の凹関数との間の明確な関係は何か？
• RQ3 Legendre-Fenchel双対性とMonge-Ampère測度は、トーリックアラケロフ幾何の文脈でどのように自然に現れるか？
• RQ4 Fubini-Studyメトリックなどの特定のメトリックのもとで、トーリック多様体の高さに対して明示的公式を導出できるか？
• RQ5 well-definedな高さ不変量を保証するための、トーリックスキームおよびT-クリエイター除法子の正性および可積分性条件は何か？

主な発見

• トーリックメトリシズドラインバンドルに関して、トーリック多様体の高さは、多面体上でのアーベル的関数族の凹関数の積分として与えられる。
• 一変数関数と線形形式の合成の積分に対して、閉形式の公式が導出され、明示的な高さ計算が可能になる。
• Fubini-Studyメトリックに関して、トーリック射影曲線の高さが積分公式を用いて明示的に計算される。
• トーリックバンドルおよび極化されたトーリック多様体の高さは、多面体複体上での凹関数の混合Monge-Ampère測度を用いて表現される。
• 著者らは、Legendre-Fenchel双対性を用いて、トーリック多様体上の半正則メトリックと凹関数の間の対応を確立する。
• 多面体上での凹関数の実Monge-Ampère測度が、半正則メトリシズドラインバンドルに関連する測度と一致することが示された。