[論文レビュー] Arithmetic homology and an integral version of Katos conjecture

Thomas Geisser|ArXiv.org|Apr 10, 2007

Geometry and complex manifolds被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、有限体上の整数係数ボレル＝ムーブルホモロジー理論（算術的ホモロジー）と、整数係数のカトウホモロジーの定義を導入する。ブロッホのサイクル複体にワイエル＝エタール形式的構造を適用することで、高次チャウ群、算術的ホモロジー、整数係数カトウホモロジーを結ぶ長完全系列を確立し、曲線に対して整数係数カトウ予想が成り立つことを証明するとともに、有限体上のスキームにおける有理的・ torsion サイクルを理解するための枠組みを提供する。

ABSTRACT

We define an integral Borel-Moore homology theory over finite fields, called arithmetic homology, and an integral version of Kato homology. Both types of groups are expected to be finitely generated, and sit in a long exact sequence with higher Chow groups of zero-cycles.

研究の動機と目的

• 悪性のエタール高次チャウ群の代わりに、有限体上での整数係数ボレル＝ムーブルホモロジー理論（算術的ホモロジー）を定義すること。
• 高次チャウ群と算術的ホモロジーの差を測る整数係数カトウホモロジーの構成すること。
• 平滑かつ完全、連結なスキームに対して、カトウの予想の整数係数版を定式化し、調査すること。
• 標準的予想の下で、高次チャウ群、算術的ホモロジー、整数係数カトウホモロジーを結ぶ長完全系列を確立すること。
• 次数 0 および曲線に対して整数係数カトウ予想を証明し、低次の長完全系列が条件なしに成立することを確認すること。

提案手法

• 算術的ホモロジーは、$ G $ が $ \bar{X} = X \times_{\mathbb{F}_q} \bar{\mathbb{F}}_q $ に作用するワイエル群であるとき、複体 $ R\tilde{\tau}_G R\tilde{\tau}(\bar{X}_{\text{et}}, \mathbb{Z}^c(0))[1] $ のコホモロジーとして定義される。
• この構成は、ブロッホのサイクル複体 $ \mathbb{Z}^c(0) $ にワイエル＝エタール形式的構造を適用することで行われ、$ H_i^c(X_{\text{ar}}, \mathbb{Z}) $ と予想される有限生成となる群が得られる。
• 整数係数カトウホモロジー $ H_i^K(X, \mathbb{Z}) $ は、残渣体のミルナー K-群を $ \bar{\mathbb{F}}_q $ とテンソル積に取り、フロベニウスの余不変量をとる複体のホモロジーとして定義される。
• 長完全系列は、ベイリンソン＝リヒテンバウム予想およびエタールコホモロジーやワイエル＝エタールコホモロジーにおける局所化系列の構造から導かれる。
• 算術的ホモロジーの射影的およびホモトピー的バンドル公式は、局所化およびホモトピー公式を用いて確立される。
• 予想される長完全系列は、次数 $ i \leq 1 $ において条件なしに成立し、曲線に対して整数係数カトウ予想が検証される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 悪性のエタール高次チャウ群に代わる、有限体上での整数係数ボレル＝ムーブルホモロジー理論が存在するか？
• RQ2 高次チャウ群と算術的ホモロジーの差を測る整数係数カトウホモロジーを定義できるか？
• RQ3 スキーム $ X $ が $ \mathbb{F}_q $ 上にあるとき、$ CH_0(X,i) $、$ H_{i+1}^c(X_{\text{ar}}, \mathbb{Z}) $、$ H_{i+1}^K(X, \mathbb{Z}) $ を結ぶ長完全系列が存在するか？
• RQ4 平滑かつ完全、連結なスキームに対して、整数係数カトウ予想が成り立つのか？特に $ H_0^K(X, \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z} $ かつ $ i > 0 $ に対して $ H_i^K(X, \mathbb{Z}) = 0 $ となるか？
• RQ5 長完全系列が低次の条件なしに成立するか？また、曲線に対して予想が検証されるか？

主な発見

• すべての平滑かつ完全、連結なスキーム $ X $ に対して、次数 0 で整数係数カトウ予想が成り立ち、$ H_0^K(X, \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z} $ である。
• 平滑かつ完全な曲線 $ C $ に対して、予想は成り立ち、長完全系列は $ 0 \to (k(C) \otimes_{\mathbb{F}_q} \bar{\mathbb{F}}_q)^\times_G \to \bigoplus_{x \in C_{(0)}} \mathbb{Z} \to \mathbb{Z} \to 0 $ に簡略化される。
• 次数 $ i \leq 1 $ において、$ CH_0(X,i) $、$ H_{i+1}^c(X_{\text{ar}}, \mathbb{Z}) $、$ H_{i+1}^K(X, \mathbb{Z}) $ を結ぶ長完全系列は条件なしに成立する。
• ベイリンソン＝リヒテンバウム予想および特異点の解消の下で、3つの命題の同値性が証明された：有理的チャウ群の消滅、整数係数カトウ予想、長完全系列の存在。
• 平滑かつ完全なスキーム $ X $ に対して、$ i = 1,2 $ のとき、整数係数カトウホモロジー群 $ H_i^K(X, \mathbb{Z}) $ は $ CH_0(X,i)_{\mathbb{Q}} $ に同型であることが示された。
• 算術的ホモロジーの射影バンドルおよびホモトピー公式が確立され、標準的なモチビック性質と整合することが示された。