[論文レビュー] Arithmetic matrices for number fields I

Samuel A. Hambleton|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2018

Analytic Number Theory Research参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、数体における代数的整数を整数行列として符号化する算術行列を導入し、線形代数を用いて加法、乗法、逆元、トレース、ノルムの計算を効率的に行うことを可能にする。主な貢献は、整基底と体埋め込みから導かれる行列表現 $ M_{\bb{E}}^{(\theta)} $ であり、これは対角化によって代数的不変量を明らかにし、行列式の乗法性によってブラーマプトラの恒等式を一般化する。

ABSTRACT

We provide a simple way to add, multiply, invert, and take traces and norms of algebraic integers of a number field using integral matrices. With formulas for the integral bases of the ring of integers of at least a significant proportion of numbers fields, we obtain explicit formulas for these matrices and discuss their generalization. These results are useful in proving statements about the particular number fields they work in. We give a meaningful diagonalization that is helpful in this regard and can be used to define such matrices in general. The matrix identities provided suggest that consideration of numerical methods in linear algebra may have applications in algebraic number theory. Multiplication of several algebraic integers at once might be more efficiently implemented using methods of efficient matrix multiplication. If we are multiplying an algebraic integer in a field of degree $n$ by each of $n$ algebraic integers, then this can be done in $O \left( n^{\log_2(7)} ight)$ multiplications. The matrix identities given here generalize Brahmagupta's identity upon taking determinants, which are multiplicative.

研究の動機と目的

• 数体における代数的整数の算術演算を整数行列を用いて体系的に行う方法を開発すること。
• 行列表現を用いて、三次体に既存の結果を高次数の数体へ一般化すること。
• 行列演算を用いてトレース、ノルム、イデアル積の計算を効率的に行えるようにすること。
• 特に高速行列乗算を含む線形代数技術を代数的数論と結びつけること。
• 対角化された行列形式を用いた数体に関する証明の簡略化のためのフレームワークを提供すること。

提案手法

• 固定された整基底 $ \{\rho_0, \dots, \rho_{n-1}\} $ を用いて、代数的整数 $ \alpha = \sum_{j=0}^{n-1} x_j \rho_j $ を符号化する $ n \times n $ 行列 $ M_{\bb{E}}^{(\alpha)} $ を構築する。
• 最小多項式の係数と基底要素を含む再帰的公式により行列成分を定義し、$ \alpha \in \mathcal{O}_\bb{E} $ のとき整数成分が保証されるようにする。
• 行列の対角化 $ N_{\bb{E}}^{(\alpha)} = \Gamma_{\bb{E}}^{-1} \Theta_{\bb{E}}^{(\alpha)} \Gamma_{\bb{E}} $ を確立し、ここで $ \Gamma_{\bb{E}} $ は埋め込みを符号化し、$ \Theta_{\bb{E}}^{(\alpha)} $ は対角成分に $ \kappa_i(\alpha) $ を持つ対角行列である。
• 行列 $ N_{\bb{E}}^{(\alpha)} $ を用いて、トレースとノルムをそれぞれ行列のトレースと行列式として計算する。
• ストラッセンのアルゴリズムなどの高速行列乗算アルゴリズムを適用し、$ \alpha $ と $ n $ 個の代数的整数の乗算の計算量を $ O(n^{\log_2 7}) $ 操作に削減する。
• 行列式の乗法性によりブラーマプトラの恒等式を一般化する：$ \det(N_{\bb{E}}^{(\alpha)} N_{\bb{E}}^{(\beta)}) = \det(N_{\bb{E}}^{(\alpha\beta)}) $。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数体における代数的整数を整数行列を用いて効率的に表現・操作することは可能か？
• RQ2 行列表現は、数体におけるイデアルや格子に関する証明をどのように簡略化するか？
• RQ3 行列法を用いた場合、代数的整数を $ n $ 個の他の代数的整数と乗算する計算量はどの程度か？
• RQ4 高速行列乗算アルゴリズムは代数的数論にどの程度応用可能か？
• RQ5 算術行列の対角化形は、数体の代数的不変量をどのように反映するか？

主な発見

• 行列 $ M_{\bb{E}}^{(\alpha)} $ は、乗法作用を整基底に制限する対角化可能な行列 $ N_{\bb{E}}^{(\alpha)} $ に等しい。
• 行列の加法と乗法は、代数的整数の加法と乗法に正確に対応する：$ N_{\bb{E}}^{(\alpha)} + N_{\bb{E}}^{(\beta)} = N_{\bb{E}}^{(\alpha + \beta)} $ および $ N_{\bb{E}}^{(\alpha)} N_{\bb{E}}^{(\beta)} = N_{\bb{E}}^{(\alpha\beta)} $。
• 行列 $ N_{\bb{E}}^{(\alpha)} $ のトレースは $ \alpha $ の体トレースに等しく、その行列式は $ \alpha $ の体ノルムに等しい。
• $ N_{\bb{E}}^{(\alpha)} $ の逆行列は $ N_{\bb{E}}^{(1/\alpha)} $ に対応するため、$ N_{\bb{E}}^{(\alpha)} $ は $ \alpha \in \mathcal{O}_\bb{E}^\times $ のときに限り可逆である。
• $ M_{\bb{E}}^{(\alpha)} $ が整数成分を持つのは、$ \alpha $ が $ \mathcal{O}_\bb{E} $ 内の代数的整数であるときかつそのときに限りである。
• $ n $ 次の体において、$ \alpha $ を $ n $ 個の代数的整数と乗算するには、高速行列乗算を用いて $ O(n^{\log_2 7}) $ 回の乗算で行える。