[論文レビュー] Arithmetic Mixed Hodge Structures

Morihiko Saito|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 1999

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、一般の超曲面におけるアーベル・ジャコビ写像の研究に動機づけられ、ムーフォードおよびロイトマンの結果を拡張する形で、算術的混合ホッジ構造の形式的定式化を導入する。コhomologicalな基準を確立する：写像 S → X が有理数体上の CH₀ 群に全射を誘導するならば、Hodge理論的手法を用いて、j > dim S のとき H⁰(X, ΩʲX) = 0 が成り立つ。

ABSTRACT

We give a formalism of arithmetic mixed Hodge structures which are recently studied by M. Green [14], [15] and M. Asakura [1], and are named by them. This notion became necessary for us to describe the image of the Abel-Jacobi map for a generic hypersurface (inspired by previous work of M. Green [13] and C. Voisin [33]), and also to prove the following variant of results of D. Mumford [21] and A. Roitman [24] suggested (and proved in the case dimX = 2) by S. Bloch in Exercise of Appendix to Lecture 1 of [6]. 0.1. Proposition. If there is a morphism of complex varieties S → X inducing a surjective morphism CH0(S)Q → CH0(X)Q where X is smooth proper, then Γ(X, Ω j X) = 0 for j> dimS. Actually, it turns out that the usual Hodge theory [9] is enough for this. See (4.5) below. But the attempt led us to the following formulation. For a subfield A of R, and a subfield k of C with finite transcendence degree, let

研究の動機と目的

• 複素代数的多様体上の代数的サイクルを研究するための道具として、算術的混合ホッジ構造を形式化すること。
• グリーンおよびヴォイシンにインspされ、一般の超曲面におけるアーベル・ジャコビ写像の像を理解すること。
• ムーフォードおよびロイトマンによる CH₀ 全射の下でのコhomologyの消滅に関する結果を一般化すること。
• 代数的サイクルにおける算術的および幾何的制約を捉えるためのホッジ理論的枠組みを提供すること。
• CH₀ 群を通じて、多様体間の特定の写像の存在に対するコhomologicalな障害を確立すること。

提案手法

• 代数的数体 A ⊂ ℝ および k ⊂ ℂ に対して、有限超越次数を持つ部分体を用いて、算術的混合ホッジ構造の形式的定式化を構築する。
• ホッジ理論を応用して、写像 S → X を通じて滑らかでコンパクトな多様体 X のコhomologyを分析する。
• CH₀(S)ℚ → CH₀(X)ℚ が全射であるという条件を用いて、X のホッジ分解にかかる制約を導出する。
• ホッジフィルトレーションの構造と写像誘導写像を用いて、j > dim S のとき H⁰(X, ΩʲX) の消滅を分析する。
• 初期の動機が算術的混合ホッジ構造に由来するが、主結果は標準的ホッジ理論 [9] に依拠して導出される。
• 代数的サイクルと微分形式の間の相互作用を通じて、写像の幾何とコhomologicalな消滅を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 写像 S → X が有理数体上の CH₀ 群に全射を誘導するとき、どのような条件下で j > dim S のとき H⁰(X, ΩʲX) = 0 が成り立つか？
• RQ2 幾何的および算術的制約を捉えるために、算術的混合ホッジ構造をどのように形式化できるか？
• RQ3 ホッジ理論は、一般の超曲面におけるアーベル・ジャコビ写像の像を記述するためにどのような役割を果たすか？
• RQ4 CH₀ 全射は、被覆多様体のホッジ分解にどのような制約を課えるか？
• RQ5 ムーフォードおよびロイトマンの古典的結果は、ホッジ理論的手法を用いて、曲面の状況を超えて拡張可能か？

主な発見

• 写像 S → X が有理数体上の CH₀ 群に全射を誘導するならば、すべての j > dim S に対して H⁰(X, ΩʲX) = 0 が成り立つ。
• Ωʲ コhomology の消滅結果は、算術的混合ホッジ構造の完全な道具立てを必要とせず、標準的ホッジ理論によって導出される。
• このようなコhomologicalな制約を捉えるための概念的枠組みを提供するために、算術的混合ホッジ構造の形式的定式化が構築された。
• この構成は、ℚ を含む有限超越次数を持つ部分体 k ⊂ ℂ 上の多様体に対して有効である。
• この結果は、ブロッホが高次元多様体に対して提起した予想を確認し、次元 2 の既知の事例を一般化する。
• 本稿は、ホッジ理論的手法が消滅を示すのに十分であることを示しており、初期の動機が算術的混合ホッジ理論に由来するものの、結果の証明にはそれ以上の道具は不要である。