[論文レビュー] Arithmetic of abelian varieties with constrained torsion

Christopher Rasmussen, Akio Tamagawa|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、数体 K 上のアーベル多様体の ℓ-冪 torsion 群の分岐が制限された場合の同型類の有限性を確立し、一般化されたリーマン予想のもとで、任意の固定された K および次元 g に対して、このような同型類は有限個であることを証明する。未条件付きでも、半安定なアーベル多様体および低次元の拡大体において有限性が示され、Galois 表現と解析的整数論を用いて ℓ の一様な上限が得られる。

ABSTRACT

Let $K$ be a number field. We present several new finiteness results for isomorphism classes of abelian varieties over $K$ whose $\ell$-power torsion fields are arithmetically constrained for some rational prime $\ell$. Such arithmetic constraints are related to an unresolved question of Ihara regarding the kernel of the canonical outer Galois representation on the pro-$\ell$ fundamental group of $P^1 - \{0,1,\infty\}$. Under GRH, we demonstrate the set of classes is finite for any fixed $K$ and any fixed dimension. Without GRH, we prove a semistable version of the result. In addition, several unconditional results are obtained when the degree of $K/\Q$ and the dimension of abelian varieties are not too large, through a careful analysis of the special fiber of such abelian varieties. In some cases, the results (viewed as a bound on the possible values of $\ell$) are uniform in the degree of the extension $K/\Q$.

研究の動機と目的

• Ihara の予想に関連する特定の pro-ℓ 拡大に含まれる ℓ-冪 torsion 群を持つ数体 K 上のアーベル多様体の同型類の有限性を調査すること。
• 固定された K および次元 g に対して、このようなアーベル多様体の集合が有限であるかどうかを、特に ℓ の役割と torsion 群の算術的性質に注目して特定すること。
• torsion 点上の Galois 表現とフロベニウス元の分析を通じて、K に依存しない ℓ の一様な上限を確立すること。
• P¹−{0,1,∞} 上の pro-ℓ ツリーの最小定義体に、アーベル多様体の ℓ-冪 torsion が含まれるかどうかという、Ihara の未解決問題を解明すること。

提案手法

• P¹−{0,1,∞} の pro-ℓ 基本群上の標準的な外部 Galois 表現を用いて、アーベル多様体のプロ-ℓ ツリーの最小定義体を表す体 山(K,ℓ) を定義する。
• ℓ 以外の素点で良い還元を持つ数体 K 上のアーベル多様体 A に対して、A[ℓ] 上の Galois 表現 ρ を分析し、半安定還元の指数に制約を加える。
• Galois 表現 ρ から得られるキャラクター χ(m_Q) を構成し、これがフロベニウス元上で常に非ゼロであることを示し、背理法の応用を可能にする。
• 解析的整数論の道具、特にランベルト W 関数と算術級数内の素数の上限を用いて、ℓ の一様な上限を導出する。
• 一般化されたリーマン予想を用いて、特定の分解型を示す小さな素数の存在を保証し、大規模な ℓ に対して背理を導く。
• 類体論と Galois 拡大の分解型を用いて、K(A[ℓ^∞]) が K 上でとりうる次数と分岐の可能性を制限する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された数体 K および次元 g に対して、K(A[ℓ^∞]) ⊆ 天(K,ℓ) を満たすアーベル多様体 A の K-同型類の集合は、すべての ℓ に対して有限か？
• RQ2 K に依存しない一様な ℓ の上限 C を、K(A[ℓ^∞]) ⊆ 天(K,ℓ) ならば ℓ ≤ C となるように、g と [K:Q] のみに依存する定数 C として確立できるか？
• RQ3 すべての ℓ に対して、K で良い還元を持つアーベル多様体 A について、K(A[ℓ^∞]) ⊆ 山(K,ℓ) が成り立つか？ これは Ihara の予想とどのように関係するか？
• RQ4 非等質なアーベル多様体 A が存在する最大の ℓ は何か？ そして、その ℓ は一様に有界できるか？
• RQ5 A[ℓ] 上の Galois 表現の性質が、フロベニウス元にどのような制約を加え、大規模な ℓ に対して背理を導くのか？

主な発見

• 一般化されたリーマン予想のもとでは、任意の固定された数体 K および次元 g に対して、[A] ∈ 𝒜(K,g,ℓ) であるペア ([A],ℓ) の集合 𝒜(K,g) は有限である。
• GRH を仮定しない場合でも、K 上で半安定還元を持つアーベル多様体に対して、𝒜(K,g) の有限性が未条件付きに証明される。
• K に対して [K:Q] ≤ 3 かつ g=1 の場合、十分に大きな ℓ に対して、𝒜(K,1,ℓ) は空集合であり、ランベルト W 関数を用いて一様な上限が得られる。
• ℓ の一様な上限が確立された：ℓ > 16g²C₃²ⁿC₅⁴ⁿ(2n)⁴ⁿexp(C₄/C₅) ならば、𝒜(K,g,ℓ) は空集合である。定数は解析的整数論から導出される。
• K=ℚ かつ g=1 の場合、𝒜(ℚ,1) は有限であり、明示的に計算され、50 個の ℚ-同型類（21 個の同種類）を含むことが判明した。残りの 4 個の同型類は ℓ=11 の場合に未解決のまま残っている。
• A[ℓ] 上の Galois 表現から構成されたキャラクター χ(m_Q) が、フロベニウス元上で常に非ゼロであることが示され、大規模な ℓ に対して背理を導くための重要な道具となっている。