[論文レビュー] Arithmetic of higher-dimensional orbifolds and a mixed Waring problem

T. D. Browning, Shuntaro Yamagishi|arXiv (Cornell University)|Feb 20, 2019

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ひとこと要約

本稿は、高次元の軌道的多様体 $(\mathbb{P}^{n-1}, \Delta)$ における有理点の高さが $B$ 未満であるものの数についての漸近公式を確立する。ここで $\Delta$ は超平面に台を持つ $\mathbb{Q}$-因子であり、重み $m_i \geq 2$ を持つ。ハリー＝リトルウッドの円周法とヴィノグラドフの平均値定理の最新の進展を用いて、混合ウェーリング条件の下で、数え上げ関数 $N(\mathbb{P}^{n-1}, \Delta; B)$ が $cB^{\sum_{i=0}^n \frac{1}{m_i} - 1} + O(B^{\sum_{i=0}^n \frac{1}{m_i} - 1 - \eta})$ を満たすことを証明し、この設定におけるカムパナ点の「薄さ」に関する疑問を解決する。

ABSTRACT

We study the density of rational points on a higher-dimensional orbifold $(\mathbb{P}^{n-1},D)$ when $D$ is a $\mathbb{Q}$-divisor involving hyperplanes. This allows us to address a question of Tanimoto about whether the set of rational points on such an orbifold constitutes a thin set. Our approach relies on the Hardy-Littlewood circle method to first study an asymptotic version of Waring's problem for mixed powers. In doing so we make crucial use of the recent resolution of the main conjecture in Vinogradov's mean value theorem, due to Bourgain-Demeter-Guth and Wooley.

研究の動機と目的

• 有理超平面に台を持つ $\mathbb{Q}$-因子 $\Delta$ を持つ高次元の軌道的多様体 $(\mathbb{P}^{n-1}, \Delta)$ におけるカムパナ点の密度を特定すること。
• このような軌道的多様体上の有理点の集合がセールの意味で「薄い集合」をなすかどうかを調査すること。
• ハリー＝リトルウッドの円周法を用いて、現代のヴィノグラドフの平均値定理の推定値を組み合わせ、混合べきのウェーリング問題を拡張すること。
• 乗数 $m_i$ の逆数に関する条件の下で、数え上げ関数 $N(\mathbb{P}^{n-1}, \Delta; B)$ の漸近公式を確立すること。

提案手法

• 乗数 $m_i \geq 2$ を持つ混合べき $x_i^{m_i}$ に対するウェーリング問題の漸近的バージョンを調べるために、ハリー＝リトルウッドの円周法を適用する。
• ブルガイン＝デメトリス＝ガスとウーリーによるヴィノグラドフの平均値定理の主予想の解決を応用し、指数和と小数弧の推定を処理する。
• カムパナ点を、各 $x_i$ が $m_i$-完全であり、線形結合 $c_0x_0 + \cdots + c_{n-1}x_{n-1}$ が $m_n$-完全である有理点として定義し、高さが $B$ 未満であるものとする。
• 高さと完全性条件が有界である原始的整数解の数を数える数え上げ関数 $N(\mathbb{P}^{n-1}, \Delta; B)$ を確立する。
• $p$-進測度とオイラー積の $\ell^1$-収束を用いて、局所的密度と主要項の収束を分析する。
• ある $j$ に対して $\sum_{i \neq j} \frac{1}{m_i(m_i+1)} \geq 1$ が成り立つ条件の下で、タイプ I および II の薄い部分集合が数え上げ関数にほとんど寄与しないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 乗数 $m_i$ に対してどのような条件下で、数え上げ関数 $N(\mathbb{P}^{n-1}, \Delta; B)$ がパワー・サバスの漸近公式を満たすか？
• RQ2 有理超平面に台を持つ $\mathbb{Q}$-因子 $\Delta$ を持つ軌道的多様体 $(\mathbb{P}^{n-1}, \Delta)$ 上の有理点の集合は、セールの意味で「薄い集合」か？
• RQ3 指数 $m_i$ が異なる場合、$m_i$-完全数に対する混合ウェーリング問題は漸近的にどのように振る舞うか？
• RQ4 このような軌道的多様体における $N(\mathbb{P}^{n-1}, \Delta; B)$ の漸近展開における正確な主要項と誤差項は何か？
• RQ5 円周法は、カムパナ点の数え上げにおいて生じる非一様な指数と完全性条件を扱うために適応可能か？

主な発見

• ある $c \geq 0$ と $\eta > 0$ に対して、$\sum_{i \neq j} \frac{1}{m_i(m_i+1)} \geq 1$ を満たすある $j$ に対して、数え上げ関数 $N(\mathbb{P}^{n-1}, \Delta; B)$ は $cB^{\sum_{i=0}^n \frac{1}{m_i} - 1} + O\left(B^{\sum_{i=0}^n \frac{1}{m_i} - 1 - \eta}\right)$ を満たす。
• 主要定数 $c$ は局所的密度の収束する和として明示的に与えられ、関連する方程式に非特異な局所的解が存在する場合には正である。
• $n=3$ かつすべての $m_i=2$ の場合、数え上げ関数は $N(\mathbb{P}^2, \Delta; B) \gg B\log B$ を満たし、これはべき則の外に対数的因子が現れることを示している。
• 指数 $\sum_{i=0}^n \frac{1}{m_i} - 1$ は、軌道的多様体のマニン予想が予測する期待される漸近的指数と一致しており、$a = \sum_{i=0}^n \frac{1}{m_i} - 1$ および $b=1$ を持つ対数的べき乗補正項に対応する。
• タイプ I および II の薄い部分集合はそれぞれ $O(B^{-1+\varepsilon})$ および $O((\log B)^{-100})$ の寄与を示し、漸近的数え上げにおいて無視できることが示された。
• 条件 $\sum_{i \neq j} \frac{1}{m_i(m_i+1)} \geq 1$ は、特異級数が絶対収束し、主要項が誤差項を支配することを保証する。