[論文レビュー] Arithmetic theory of harmonic numbers (II)

Zhi‐Wei Sun, Lilu Zhao|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2009

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ひとこと要約

本稿は、調和数の順序 m を含む重み付き調和和に関する新しい p-進合同式を確立し、奇素数 p に対して p−1∤6n のとき ∑_{k=1}^{p-1} H_{k,2n}^2 / k^{2n} ≡ 0 (mod p) が成り立つことを証明する。さらに、p > 6n+1 のとき、ベルヌーイ数を含む p² 階の合同式に refined される。主な結果は、p-進解析とベルヌーイ数の恒等式を用いて、Sun によるこれらの和の構造に関する予想を確認する。

ABSTRACT

For $k=1,2,\ldots$ let $H_k$ denote the harmonic number $\sum_{j=1}^k 1/j$. In this paper we establish some new congruences involving harmonic numbers. For example, we show that for any prime $p>3$ we have $$\sum_{k=1}^{p-1}\frac{H_k}{k2^k}\equiv\frac7{24}pB_{p-3}\pmod{p^2},\ \ \sum_{k=1}^{p-1}\frac{H_{k,2}}{k2^k}\equiv-\frac 38B_{p-3}\pmod{p},$$ and $$\sum_{k=1}^{p-1}\frac{H_{k,2n}^2}{k^{2n}}\equiv\frac{\binom{6n+1}{2n-1}+n}{6n+1}pB_{p-1-6n}\pmod{p^2}$$ for any positive integer $n

研究の動機と目的

• 奇素数 p に対して p−1∤6n のとき、∑_{k=1}^{p-1} H_{k,2n}^2 / k^{2n} ≡ 0 (mod p) であるという Sun の予想を証明すること。
• p > 6n+1 のとき、同じ和についてベルヌーイ数を用いて明示的な式で表される p² 階の合同式を確立すること。
• 調和数とベルヌーイ数、p-進付値との関係を結びつけることで、調和数の算術理論を拡張すること。
• 生成関数と組合せ的恒等式を用いて、H_{k,m}^2 / k^m を含む重み付き調和和の体系的な p-進解析を提供すること。
• p-進技術とベルヌーイ数の算術を用いて、素数のべき乗における調和和の合同に関する以前の予想を検証・一般化すること。

提案手法

• ベルヌーイ数 B_{p−1−k} の性質と p-進合同式を用いて、mod p および mod p² における調和和の解析を行う。
• 調和数 H_{n,m} 及びその平方に関する既知の恒等式を適用し、特に生成関数を用いて ∑_{k=1}^n inom{n}{k} (-1)^{k-1}/k H_k = H_{n,2} を表現する。
• ∑_{k=1}^{p-1} H_k / k ≡ (p/3) B_{p-3} (mod p²) 及び (−1)^k / k^m を含む類似の和を用いて、重要な合同式を導出する。
• ベルヌーイ多項式と von Staudt–Clausen の定理を用いて、∑_{j=0}^{k-1} j^{p-1−r} の展開を行い、和を mod p に簡約する。
• 組合せ的恒等式 ∑_{k=1}^m inom{k-1}{r-1} = inom{m}{r} 及び二項係数の mod p における簡約を用いて、二重和を簡略化する。
• 対称的な二重和の操作と添え字 (j<k) の対称性を用いて、H_{p-1,3m} を含む項と調和和の平方における交差項を分離する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p−1∤6n を満たすすべての奇素数 p に対して、和 ∑_{k=1}^{p-1} H_{k,2n}^2 / k^{2n} は mod p で 0 に等しいか？
• RQ2 この合同式の p² 階の精製は可能か？ もし可能であれば、ベルヌーイ数を用いた明示的式は何か？
• RQ3 和 ∑_{k=1}^{p-1} H_k / (k 2^k) 及び ∑_{k=1}^{p-1} H_{k,2} / (k 2^k) は mod p² でどのように振る舞い、ベルヌーイ数とどのように関係するか？
• RQ4 整数 s(n) = inom{6n+1}{2n-1} + n は、和 ∑_{k=1}^{p-1} H_{k,2n}^2 / k^{2n} の p² 合同式において果たす役割は何か？
• RQ5 調和和 ∑_{k=1}^{p-1} H_{k,m}^2 / k^m の p-進付値は、インデックス m と素数 p に対してどのように関係するか？

主な発見

• p−1∤6n を満たすすべての奇素数 p に対して、和 ∑_{k=1}^{p-1} H_{k,2n}^2 / k^{2n} ≡ 0 (mod p) が成り立つ。これは Sun の第二予想を確認する。
• p > 6n+1 のとき、和は p² 合同式 ∑_{k=1}^{p-1} H_{k,2n}^2 / k^{2n} ≡ [s(n)/(6n+1)] p B_{p−1−6n} (mod p²) を満たす。ここで s(n) = inom{6n+1}{2n−1} + n である。
• p > 3 の素数に対して、和 ∑_{k=1}^{p-1} H_k / (k 2^k) ≡ (7/24) p B_{p−3} (mod p²) が成り立ち、Sun の予想 1.1 の第一部分を確認する。
• 和 ∑_{k=1}^{p-1} H_{k,2} / (k 2^k) ≡ −(3/8) B_{p−3} (mod p) が成り立ち、p 階の精製が得られる。
• 二重和 ∑_{1≤j<k≤p−1} (1/j^{2m} k^m + 2/j^m k^{2m}) ≡ [(-1)^m / (m+1)(2m+1)] inom{3m}{m} B_{p−1−3m} (mod p) が導出され、主な証明で用いられる。
• p-進調和和の恒等式を用いて、∑_{k=1}^{p−1} H_k / k ≡ (p/3) B_{p−3} (mod p²) が重要な中間的結果として確立される。