[論文レビュー] Arithmetic Veech sublattices of $\operatorname{SL}(2,\mathbf{Z})$

Jordan S. Ellenberg, D. B. McReynolds|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 20被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、SL(2,Z) のほとんどすべての有限指数部分群が Veech 群であることを確立しており、これは、代数的数体上に定義された任意の代数曲線が、複素数体上での双有理写像によって Teichmüller 曲線に双有理同型であることを示している。この結果は、Veech 子格子の算術的性質および SL(2,Z) 内でのこのような部分群の稠密性に依拠している。

ABSTRACT

We prove that every algebraic curve X/Q¯ is birational over C to a Teichmuller curve. This result is a corollary of our main theorem, which asserts that most finite-index subgroups of SL(2,Z) are Veech groups.

研究の動機と目的

• SL(2,Z) の有限指数部分群のうち、Veech 群が占める密度および分布を調査すること。
• SL(2,Z) の算術的部分格子と Teichmüller 曲線の幾何学的性質との間の関係を確立すること。
• 代数的数体上に定義された任意の代数曲線が、複素数体上での双有理写像によって Teichmüller 曲線に双有理同型であることを示すこと。
• Veech 群が特別な力学的および幾何学的性質を持つ算術的部分群としての理解を拡張すること。

提案手法

• 算術的および幾何学的群論を用いて、SL(2,Z) の有限指数部分群の構造を分析する。
• 算術的格子の理論からの結果を応用し、このような部分群が Veech 群として現れる条件を同定する。
• Teichmüller 空間における SL(2,Z) の作用および Teichmüller 地図流の力学を用いて、Veech 群を特徴付ける。
• Veech 群が SL(2,R) の作用における特定の平坦な曲面の安定化部分群であるという事実を活用する。
• Teichmüller 曲線およびそのモジュライ空間の理論を用いて、代数的数体上に定義された代数曲線と Veech 部分群との関係を関係づける。
• 特別なトレース体および共役類の性質を持つ算術的部分群である Veech 子格子の概念を応用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの SL(2,Z) の有限指数部分群が、ある平行移動曲面の Veech 群として現れるか？
• RQ2 Veech 群は、SL(2,Z) のすべての有限指数部分群の集合の中でどれほど稠密に分布しているか？
• RQ3 代数的数体上に定義された代数曲線と、モジュライ空間における Teichmüller 曲線との間にはどのような関係があるか？
• RQ4 SL(2,Z) の部分群が Veech 群となる算術的条件は何か？
• RQ5 代数的数体上に定義された任意の代数曲線は、双有理同値を介して Teichmüller 曲線の商として実現可能か？

主な発見

• SL(2,Z) のほとんどすべての有限指数部分群が、ある平行移動曲面の Veech 群として実現可能である。
• Veech 群の集合は、プロファイントポロジーに関して、SL(2,Z) のすべての有限指数部分群の空間において稠密である。
• 代数的数体上に定義された任意の代数曲線は、複素数体上での双有理写像によって Teichmüller 曲線に双有理同型である。
• SL(2,Z) の算術的 Veech 子格子は、そのトレース体および共役類によって特徴付けられる。
• 主な結果は、Teichmüller 曲線のモジュライ空間が、双有理同値を除いて、Q̄ 上に定義されたすべての代数曲線を捉え込んでいることを示唆している。
• 証明は、Veech 群がトレース体および不変な二次形式に関連する特別な性質を持つ算術的格子であるという事実に依拠している。