[論文レビュー] Arithmetical Aspects of Beurling's Real Variable Reformulation of the Riemann Hypothesis

Luis Báez‐Duarte|ArXiv.org|Nov 29, 2000

Holomorphic and Operator Theory参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、初等的数論的技法を用いて、リーマン予想のニム・ベルリング基準の算術的同等形を確立する。$ L_p $-ノルムにおける算術的近似列 $ G_n $ が $ \rho(x)\theta^{-1} $ に収束することは、$ \Re(s) > 1/p $ においてリーマン・ゼータ関数がゼロでないことに同値であり、古典的近似が $ L_2 $ で発散することを示し、このような手法による予想の証明の困難性を強化する。

ABSTRACT

The paper presents two arithmetical versions of the Nyman-Beurling equivalence with the Riemann hypothesis, proved by classical, quasi elementary, number-theoretic methods, based on an integrated version of the classical combinatorial identity for Moebius numbers. These proofs also give insight into the troublesome phenomenon that many natural sequences of Beurling functions tending to the indicator function of (0,1) both pointwise and in L1 norm do not converge in L2 norm.

研究の動機と目的

• リーマン予想のニム・ベルリング基準を $ L_p $-空間において初等的・数論的証明を提供すること。
• $ \lambda(x) = \chi(x)\log x $ への自然な算術的近似の $ L_p $-ノルムにおける収束挙動を調査すること。
• $ S_n $, $ B_n $, $ F_n $ などの古典的近似が、点単位収束および $ L_1 $ 収束を示すにもかかわらず、$ L_2 $ で発散することを示すこと。
• $ \|M_1\|_p < \infty $ が $ \lambda \in \overline{\mathcal{B}}^{L_p} $ と同値であることの確立により、$ M(x) $ の算術的成長と近似論を結びつけること。
• $ \zeta(s) $ が $ \Re(s) = 1/p $ に零点を持つ場合、自然部分空間 $ \mathcal{C}^{\text{nat}} $ 内のいかなる級数も $ -\chi $ に $ L_p $ で収束できないことを証明すること。特に $ L_2 $ においても同様である。

提案手法

• $ G_n(x) = \int_{1/n}^1 M_1(\theta) \rho(\theta/x) \theta^{-1} d\theta $ を定義し、$ M_1(\theta) = M(1/\theta) $ とすることで、$ \lambda(x) $ への $ L_p $-近似列を構成する。
• 恒等式 $ \lambda(x) = \int_0^1 M_1(\theta) \rho(\theta/x) \theta^{-1} d\theta $ を用い、$ \lambda $ を $ \mathcal{B} $ に属する関数の極限として表現し、$ \lambda \in \overline{\mathcal{B}}^{L_p} $ を示唆する。
• 部分和の公式と、ムビウス関数 $ \mu(k) $ に関する古典的評価（特に $ M(x) \ll x(\log x)^{-2} $）を用いて、$ \|G_n - \lambda\|_p $ を分析する。
• $ Uf(x) = f(x) - f(x/2) $ で定義される作用素 $ U $ を用い、近似の $ L_2 $-ノルムを分析し、仮定された収束から矛盾を導く。
• $ \|M_1\|_p < \infty $ がかつて $ \lambda \in \overline{\mathcal{B}}^{L_p} $ と同値であることの証明により、$ M_1 $ の $ L_p $-可積分性と近似性質を結びつける。
• 係数収束 $ a_{n,k} \to \mu(k) $ が点単位収束のもとで成り立つという補題を用い、$ \mathcal{C}^{\text{nat}} $ 内の $ L_p $-収束級数は、すべて自然近似 $ V_n $ に一致しなければならず、それは $ L_p $ で発散することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ G_n $ が $ \lambda $ に $ L_p $-ノルムで収束することは、$ \Re(s) > 1/p $ において $ \zeta(s) $ がゼロでないことと同値であるか？
• RQ2 $ S_n $, $ B_n $, $ F_n $ などの古典的近似が、点単位収束および $ L_1 $ 収束を示すにもかかわらず、$ \chi $ や $ \lambda $ に $ L_2 $ で収束可能であるか？
• RQ3 $ \zeta(s) $ が $ \Re(s) = 1/p $ に零点を持つ場合、自然部分空間 $ \mathcal{C}^{\text{nat}} $ 内のいかなる級数も $ -\chi $ に $ L_p $ で収束可能か？
• RQ4 $ M_1(\theta) $ の $ L_p $-可積分性と $ \mathcal{B} $ が $ L_p(0,1) $ で稠密であることの間の正確な関係は何か？
• RQ5 $ B_n $ と $ F_n $ の $ L_2 $-ノルムはどのように振る舞い、$ L_2 $ で収束する部分列を有するか？

主な発見

• すべての $ p \in (1,\infty) $ に対して、$ \|G_n - \lambda\|_p \to 0 $ であることと、$ \Re(s) \geq 1/p $ において $ \zeta(s) \not= 0 $ であることは同値であり、直接的な $ L_p $-ノルム同値性を確立する。
• $ G_n \to \lambda $ は $ L_1 $ および点単位収束を示すが、$ \|G_n - \lambda\|_2 \to \infty $ であるため、$ G_n $ は $ L_2 $ で発散する。これは自然な算術的近似であるにもかかわらず成り立つ。
• $ \mu(k) $ を用いて定義される古典的近似 $ S_n $ は $ L_2 $ で発散する。同様に $ B_n $ と $ F_n $ も、$ (0,1/n) $ 上で有界でない $ L_2 $-ノルムを持つため、$ L_2 $ で発散する。
• $ M_1(\theta) $ の $ L_p $-ノルムが有限であることと、$ \lambda \in \overline{\mathcal{B}}^{L_p} $ であることは同値であり、近似性質の数論的特徴付けを提供する。
• $ \zeta(s) $ が $ \Re(s) = 1/p $ に零点を持つ場合、$ \mathcal{C}^{\text{nat}} $ 内のいかなる級数も $ -\chi $ に $ L_p $ で収束できない。特に $ L_2 $ においても同様である。
• 係数収束補題により、$ \mathcal{C}^{\text{nat}} $ 内の $ L_p $-収束列は、すべて係数 $ c_k \to \mu(k) $ を満たさなければならないため、発散する $ V_n $ に一致する必要がある。