[論文レビュー] Arithmeticity and Hidden Symmetries of Fully Augmented Pretzel Link Complements

Jeffrey S. Meyer, Christian Millichap+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 34被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、完全に増幅されたブレースル・リンク補完の算術性と可換性を分類し、大多数が非算術的であることを証明するとともに、2つの無限族を構成する。1つは隠れた対称性を持たないもので、もう1つは体積に線形に増加する隠れた対称性を持つもので、非算術的双曲3次元多様体における可能な最大の増加率に達している。結果は幾何的分解、カスプ形状解析、不変トレース体の計算に基づき、トレース体としてのCM体の明示的計算を含む。

ABSTRACT

This paper examines number theoretic and topological properties of fully augmented pretzel link complements. In particular, we determine exactly when these link complements are arithmetic and exactly which are commensurable with one another. We show these link complements realize infinitely many CM-fields as invariant trace fields, which we explicitly compute. Further, we construct two infinite families of non-arithmetic fully augmented link complements: one that has no hidden symmetries and the other where the number of hidden symmetries grows linearly with volume. This second family realizes the maximal growth rate for the number of hidden symmetries relative to volume for non-arithmetic hyperbolic 3-manifolds. Our work requires a careful analysis of the geometry of these link complements, including their cusp shapes and totally geodesic surfaces inside of these manifolds.

研究の動機と目的

• 完全に増幅されたブレースル・リンク補完がいつ算術的であるかを正確に特定すること。
• これらの補完の不変トレース体を計算し、それらが無限に多くのCM体を実現することを示すこと。
• 制御された隠れた対称性の性質を持つ非算術的リンク補完の無限族を構成すること。
• 非算術的双曲3次元多様体において、隠れた対称性の体積に対する最大の可能な増加率を確立すること。
• カスプ形状や完全に測地的超曲面などの幾何的不変量を分析し、算術的と非算術的ケースを区別すること。

提案手法

• 反射オビルドイド技術を用いた、完全に増幅されたブレースル・リンクの理想多面体部品への幾何的分解。
• 代数的数論を用いた不変トレース体の計算と、それらのCM体構造の分析。
• カスプ形状解析と短い測地線の検出を用いて、大多数のケースで算術性を除外する。
• 半回転パートナーの構成により、制御された対称性性質を持つ非算術的多様体の族を生成する。
• 群論的道具を用いて、隠れた対称性群を商 $ C(\Gamma)/N(\Gamma) $ として計算する。
• Mostow–Prasadの剛性と可換性理論を応用し、可換性類内での対称性群と体積増加の関係を関係づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの完全に増幅されたブレースル・リンクに対して、補完が算術的であるか？
• RQ2 どの完全に増幅されたブレースル・リンク補完が互いに可換性を持つのか？
• RQ3 これらのリンク補完の不変トレース体として現れるCM体は何か？
• RQ4 体積に線形に増加する隠れた対称性を持つ非算術的完全に増幅されたブレースル補完を構成できるか？
• RQ5 非算術的双曲3次元多様体において、隠れた対称性の体積に対する最大の可能な増加率は何か？

主な発見

• $ n \geq 3 $ 個の交差円板をもつ完全に増幅されたブレースル・リンク補完 $ M_n $ は、$ n = 3 $ のときに限り算術的である。
• $ M_n $ の不変トレース体はCM体であり、そのような体はすべて、ブレースルFAL族に対して明示的に計算されている。
• 隠れた対称性を持たない非算術的完全に増幅されたブレースル補完の無限族が存在する。
• 別の非算術的補完の無限族では、正確に $ 2n $ 個の隠れた対称性を持ち、体積に線形に増加する最大の可能な増加率に達している。
• $ M_n' $ の体積は $ 8n \left( \mathcal{L}\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2n}\right) + \mathcal{L}\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2n}\right) \right) $ であり、隠れた対称性はこの体積に線形に増加する。
• $ M_n' $ の隠れた対称性は商 $ C(\Gamma_n')/N(\Gamma_n') $ によって実現され、$ n \geq 5 $ のとき $ [C(\Gamma_n'):N(\Gamma_n')] = 2n $ である。