[論文レビュー] Arithmetics in number systems with negative base

Zuzana Masáková, Edita Pelantová+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2010

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、負の基数 $-\beta$ を持つ数体系の算術的性質を調査し、${\rm Fin}(-\beta)$ である有限 $(-\beta)$-展開の集合が、$\beta$ が負の共役を持たない Pisot 数または Salem 数である場合に限り、環をなすことを証明している。Ito と Sadahiro が提起した予想、すなわち $\beta$ が正の共役を持つ二次的 Pisot 数である場合に ${\rm Fin}(-\beta)$ が環をなすという予想を確認し、$(-\beta)$-整数同士の加法および乗法において生じる小数部の最大桁数を特定している。

ABSTRACT

We study the numeration system with negative basis, introduced by Ito and Sadahiro. We focus on arithmetic operations in the set ${ m Fin}(-β)$ and $\Z_{-β}$ of numbers having finite resp. integer $(-β)$-expansions. We show that ${ m Fin}(-β)$ is trivial if $β$ is smaller than the golden ratio $\frac12(1+\sqrt5)$. For $β\geq\frac12(1+\sqrt5)$ we prove that ${ m Fin}(-β)$ is a ring, only if $β$ is a Pisot or Salem number with no negative conjugates. We prove the conjecture of Ito and Sadahiro that ${ m Fin}(-β)$ is a ring if $β$ is a quadratic Pisot number with positive conjugate. For quadratic Pisot units we determine the number of fractional digits that may appear when adding or multiplying two $(-β)$-integers.

研究の動機と目的

• ${\rm Fin}(-\beta)$、すなわち有限 $(-\beta)$-展開を持つ実数の集合の算術的演算における代数的構造を分析すること。
• ${\rm Fin}(-\beta)$ が加法および乗法に関して閉じている、すなわち環をなすための条件を特定すること。
• Ito と Sadahiro が提起した予想、すなわち $\beta$ が正の共役を持つ二次的 Pisot 数である場合に ${\rm Fin}(-\beta)$ が環をなすという予想を検証すること。
• 二次的 Pisot 単数において、$(-\beta)$-整数同士の和および積の $(-\beta)$-展開に生じる小数部の最大桁数を定量化すること。

提案手法

• Rényi の $\beta$-展開フレームワークを用い、$\beta > 1$ である負の基数 $-\beta$ へと拡張する。
• 桁列の辞書式順序および $d^{*}_{\beta}(1)$ の概念を用いて、負の基数体系における許容可能な展開を特徴付ける。
• 共役解析および代数的整数、特に Pisot 数および Salem 数の性質を用いて、${\rm Fin}(-\beta)$ の算術的閉包を評価する。
• 定理 7 を適用して、$(-\beta)$-整数 $z$ の共役値 $z'$ の大きさを分析し、和および積における小数部の桁数の上限を決定する。
• $\beta^2 = m\beta + n$ の恒等式を用いて、$z \in \mathbb{Z}_{-\beta}$ に対して $H = \sup |z'|$ および $K = \inf |z'|$ の上限を導出する。
• $\beta' = -\beta^{-1}$ の関係を用いて、$\beta^{L_{\oplus}}$ および $\beta^{L_{\otimes}}$ の上限を計算する。ここで $L_{\oplus}, L_{\otimes}$ はそれぞれ加法および乗法における小数部の最大桁数を表す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ${\rm Fin}(-\beta)$ が加法および乗法に関して閉じており、すなわち環をなすための条件は何か？
• RQ2 Ito と Sadahiro が提起した予想は真であるか？ すなわち、$\beta$ が正の共役を持つ二次的 Pisot 数である場合に ${\rm Fin}(-\beta)$ が環をなすか？
• RQ3 二つの $(-\beta)$-整数の和または積の $(-\beta)$-展開に生じる小数部の最大桁数は何か？
• RQ4 $\beta$ の代数的性質、特に Pisot 数または Salem 数としての性質が、${\rm Fin}(-\beta)$ の算術的閉包に与える影響は何か？

主な発見

• ${\rm Fin}(-\beta)$ は $\beta < \frac{1}{2}(1 + \sqrt{5})$ のとき、自明である。すなわち、有限個の要素しか持たない。
• $\beta \geq \frac{1}{2}(1 + \sqrt{5})$ のとき、${\rm Fin}(-\beta)$ が環をなすための必要十分条件は、$\beta$ が負の共役を持たない Pisot 数または Salem 数であることである。
• Ito と Sadahiro の予想は確認された：${\rm Fin}(-\beta)$ は $\beta$ が正の共役を持つ二次的 Pisot 数である場合に限り、環をなす。
• 恒等式 $\beta^2 = m\beta + 1$ を満たす二次的 Pisot 単数で $m \geq 2$ である場合、加法および乗法における小数部の最大桁数はいずれも正確に 1 である：$L_{\oplus}(-\beta) = 1$ および $L_{\otimes}(-\beta) = 1$。
• 黄金比 $\beta = \frac{1}{2}(1 + \sqrt{5})$ の場合、実際の値は $L_{\oplus}(-\beta) = 2$ および $L_{\otimes}(-\beta) = 2$ であるが、定理 7 の上限は 3 にとどまる。
• $\beta^2 = m\beta + n$ で $m \geq n \geq 1$ を満たす場合、共役 $\beta'$ は負であるため、${\rm Fin}(-\beta)$ は環でないが、和および積における小数部の桁数は依然として上限をもつ。