[論文レビュー] Arnold diffusion in arbitrary degrees of freedom and crumpled 3-dimensional normally hyperbolic invariant cylinders

Patrick Bernard, V. A. Kaloshin+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2011

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 36被引用数 27

ひとこと要約

本稿は、任意の自由度（n ≥ 2）をもつ一般の近似的に可積分なハミルトニアン系において、正則性が限界的な3次元の通常双曲的不変円筒（NHIC）を構成することで、一般の近的可積分ハミルトニアン系におけるアーノルド拡散の存在を確立する。幾何学的およびメイラー変分法の組み合わせを用いて、摂動の大きさεに依存せずに作用変数の変化が正の下限をもつ軌道の存在を証明し、ハミルトニアン力学における長年の問題を解決する。

ABSTRACT

In the present paper we prove a form of Arnold diffusion. The main result says that for a "generic" perturbation of a nearly integrable system of arbitrary degrees of freedom $n\ge 2$ \[ H_0(p)+\eps H_1(þ,p,t),\quad þ\in \T^n,\ p\in B^n,\ t\in \T=\R/\T, \] with strictly convex $H_0$ there exists an orbit $(þ_{\e},p_{e})(t)$ exhibiting Arnold diffusion in the sens that [\sup_{t>0}\|p(t)-p(0) \| >l(H_1)>0] where $l(H_1)$ is a positive constant independant of $\e$. Our proof is a combination of geometric and variational methods. We first build 3-dimensional normally hyperbolic invariant cylinders of limited regularity, but of large size, extrapolating on \cite{Be3} and \cite{KZZ}. Once these cylinders are constructed we use versions of Mather variational method developed in Bernard \cite{Be1}, Cheng-Yan \cite{CY1, CY2}.

研究の動機と目的

• 任意の自由度（n ≥ 2）をもつ一般の近的可積分ハミルトニアン系におけるアーノルド拡散の存在を確立すること。
• 共鳴が存在する状況において、正則性が限界的なが大きなサイズの3次元通常双曲的不変円筒（NHIC）を構成すること。
• 余次元1の共鳴をもつ系および滑らかでない不変円筒をもつ系にメイラー変分法を拡張すること。
• 拡散が、摂動パラメータεに依存しない作用変数の変化の下限をもつことを示すことにより、アーノルド拡散の一般性を確認すること。

提案手法

• 先行研究 [Be3] および [KZZ] の結果を拡張することで、余次元1の共鳴近傍の作用空間に3次元NHICを構成する。
• 文献 [Be1] および [CY1, CY2] で開発されたメイラー変分法のバージョンを用いて、削減された3次元力学系における拡散軌道を同定する。
• 正則性がε → 0の際に劣化するが、依然として拡散を支える「ねじれた」NHICの存在に基づく摂動的議論を適用する。
• 不変集合を保存しつつ、不変多様体に必要なリプシッツ評価を保証するように変更されたベクトル場 F̃ を導入する。
• 中心的力学を局所化し、主定理の仮定を満たすようにするため、切断関数ρを用いる。
• 不変集合 W^sc、W^uc、W^c が、一様に有界なリプシッツ定数をもつC¹関数のグラフとして表され、摂動に対して安定であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 近的可積分ハミルトニアン系において、任意の自由度（n ≥ 2）をもつ場合に、アーノルド拡散が一般に成立することを証明できるか？
• RQ2 正則性がε → 0の際に劣化する場合、共鳴近傍における通常双曲的不変円筒にはどのような振る舞いが現れるか？
• RQ3 ねじれた（低正則性をもつ）3次元NHICをもつ系に、メイラー変分法を適応できるか？
• RQ4 拡散軌道における作用変数の変化に、摂動パラメータεに依存しない下限が存在するか？
• RQ5 余次元1の共鳴近傍の力学は、滑らかさに欠けるにもかかわらず、拡散を支える3次元系に還元可能か？

主な発見

• 本稿は、supₜ>₀ ‖p(t) − p(0)‖ > l(H₁) > 0 を満たす軌道 (θε, pε)(t) の存在を証明する。ここで l(H₁) はεに依存しない正の定数である。
• 正則性がε → 0の際に発散するが、それでも「ねじれた」円筒としての3次元NHICを構成し、それらが依然としてアーノルド拡散を支えることを示した。
• 不変円筒の幾何的構成と、メイラー理論に基づく変分法の組み合わせによって、拡散機構が確立された。
• 不変円筒が、正則性が劣化しても一様に有界なリプシッツ定数をもつC¹関数のグラフとして表されることを示した。
• 主な技術的進展は、低正則性不変円筒をもつ系に変分法を適応させることであり、これにより高次元系における拡散の証明が可能になった。
• 結果は、厳密に凸なH₀の一般の摂動クラスに対して成り立つことから、任意の自由度におけるアーノルド拡散のロバスト性を確認した。