[論文レビュー] Around Poisson--Mehler summation formula

Paweł J. Szabłowski|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2011

Mathematical functions and polynomials被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$ q $-エアミート多項式およびアル＝サラーム–チハラ多項式を用いて、ポアソン＝マイラー和公式を一般化する二変数多項式族 $ Q_{m,n}(x,y|t,q) $ を導入する。この多項式族が、有界な正方形領域上での二変数 $(t,q)$-正規分布に関して直交基底を形成することを確立し、対称展開および逆数級数表現を可能にする。主な結果として、生成関数および直交分解に関する結果が得られる。

ABSTRACT

We study polynomials in $x$ and $y$ of degree $n+m:\allowbreak \{Q_{m,n}(x,y|t,q)\}_{n,m\geq 0}$ that appeared recently in the following identity: $γ_{m,n}(x,y|t,q) \allowbreak =\allowbreak γ_{0,0}(x,y|t,q) \allowbreak Q_{m,n}(x,y|t,q) $ where $γ_{m,n}(x,y|t,q) \allowbreak =\allowbreak \sum_{i\geq 0}\frac{t^{i}}{[i]_{q}}H_{i+n}(x|q) H_{m+i}(y|q)$, $\allowbreak $ $\{H_{n}(x|q)}_{n\geq -1}$ are the so-called $q-$% Hermite polynomials (qH). In particular we show that the spaces $span\{Q_{i,n-i}(x,y|t,q) :i=0,...,n\}_{n\geq 0}$ are orthogonal with respect to a certain measure (two-dimensional $(t,q)-$Normal distribution) on the square $\{(x,y):|x|,|y|\leq 2/\sqrt{1-q}\} . $ We study structure of these polynomials expressing them with the help of the so-called Al-Salam--Chihara (ASC) polynomials and showing that they are rational functions of parameters $t$ and $q$. We use them in various infinite expansions that can be viewed as simple generalization of the Poisson-Mehler summation formula. Further we use them in the expansion of the reciprocal of the right hand side of the Poisson-Mehler formula.

研究の動機と目的

• ポアソン＝マイラー和公式を $ q $-エアミート多項式を用いて一般化し、新たな2変数直交多項式族 $ Q_{m,n}(x,y|t,q) $ を導入すること。
• 正方形領域 $ |x|,|y| \leq 2/\sqrt{1-q} $ 上における2次元 $(t,q)$-正規測度に関して、$ Q_{m,n} $ の直交構造を特定すること。
• 生成関数および $ Q_{m,n} $ を含む対称無限展開を導出すること。特に、ポアソン＝マイラー核の逆数の対称展開を含む。
• $ Q_{m,n} $ をアル＝サラーム–チハラ多項式を用いて表現し、$ t $ および $ q $ に関して有理関数の構造を示すこと。
• $(t,q)$-正規測度の下で、空間 $ \Lambda_n(x,y|t,q) = \text{span}\{ Q_{i,n-i}(x,y|t,q) \}_{i=0}^n $ が $ L^2 $ の直交分解を形成することを確立すること。

提案手法

• $ \gamma_{m,n}(x,y|t,q) = \sum_{i \geq 0} \frac{t^i}{[i]_q!} H_{i+n}(x|q) H_{m+i}(y|q) $ を定義し、$ \gamma_{m,n} = Q_{m,n} \cdot \gamma_{0,0} $ として因数分解することで、$ Q_{m,n} $ の多項式性を確立する。
• ポアソン＝マイラー公式を出発点とし、$ q $-級数恒等式および $ q $-指数的生成関数を用いて、$ q $-エアミート多項式およびアル＝サラーム–チハラ多項式を含む拡張を行う。
• $ S(q) \times S(q) $ 上に $(t,q)$-正規測度を構成する。ここで $ S(q) = \{ x : |x| \leq 2/\sqrt{1-q} \} $ であり、$ q $-エアミート多項式およびアル＝サラーム–チハラ多項式の直交測度の積を用いる。
• 生成関数 $ \sum_{i,j \geq 0} \frac{s^i t^j}{[i]_q! [j]_q!} Q_{i,j}(x,y|t,q) = \frac{\varphi_H(x|t,q) \varphi_H(y|s,q)}{\gamma_{0,0}(x,y|t,q)} \sum_{n \geq 0} \frac{t^n}{[n]_q!} H_n(x|t,q) H_n(y|s,q) $ を導出し、ポアソン＝マイラー核と関連付ける。
• $ \Lambda_n(x,y|t,q) = \text{span}\{ Q_{i,n-i}(x,y|t,q) \}_{i=0}^n $ が $(t,q)$-正規測度の下で直交部分空間を形成することを証明し、$ L^2 $ の直和分解を形成することを示す。
• 数学的帰納法および $ q $-二項係数の恒等式を用いて、対称恒等式を導出する。特に $ \sum_{k=0}^n (-1)^k q^{\binom{n-k}{2}} \binom{n}{k}_q \frac{\prod_{i=0}^{k-1} \omega(\cdot | \rho q^i)}{(\rho^2)_{2k}} = q^{\binom{n}{2}} \rho^n (1-q)^n Q_{n,n}(x,y|\rho,q) $ を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポアソン＝マイラー和公式は、新たな直交多項式族 $ Q_{m,n}(x,y|t,q) $ を用いて、2変数 $ q $-エアミート多項式にどのように一般化可能か？
• RQ2 $ \Lambda_n(x,y|t,q) $ の直交構造は何か？また、$(t,q)$-正規測度の下で $ L^2 $ をどのように分解するか？
• RQ3 ポアソン＝マイラー核の逆数は、$ Q_{m,n} $ を用いた無限対称級数に展開可能か？その展開形はどのようなものか？
• RQ4 $ Q_{m,n}(x,y|t,q) $ はアル＝サラーム–チハラ多項式とどのように関係しているか？また、$ t $ および $ q $ に関してどのような有理関数的構造を示すか？
• RQ5 $ q $-二項係数の恒等式および $ q $-指数的生成関数は、対称展開および直交分解を導出する際に果たす役割は何か？

主な発見

• $ Q_{m,n}(x,y|t,q) $ は $ t $ および $ q $ に関して有理関数であり、アル＝サラーム–チハラ多項式の線形結合として表現可能である。これにより、一変数と二変数の $ q $-直交系の間の橋渡しを果たす。
• $ \Lambda_n(x,y|t,q) = \text{span}\{ Q_{i,n-i}(x,y|t,q) \}_{i=0}^n $ は、$ S(q) \times S(q) $ 上の $(t,q)$-正規測度に関して直交し、$ L^2 $ の直和分解を形成する。
• ポアソン＝マイラー核の逆数の対称無限展開が導出された：$ \frac{1}{\gamma_{0,0}(x,y|\rho,q)} = \sum_{n=0}^\infty \frac{\rho^n}{(\rho^2)_\infty} \sum_{k=0}^n (-1)^k q^{\binom{n-k}{2}} \binom{n}{k}_q \frac{\prod_{i=0}^{k-1} \omega(\cdot | \rho q^i)}{(\rho^2)_{2k}} $。
• $ Q_{m,n} $ の生成関数は $ \sum_{i,j \geq 0} \frac{s^i t^j}{[i]_q! [j]_q!} Q_{i,j}(x,y|t,q) = \frac{\varphi_H(x|t,q) \varphi_H(y|s,q)}{\gamma_{0,0}(x,y|t,q)} \sum_{n \geq 0} \frac{t^n}{[n]_q!} H_n(x|t,q) H_n(y|s,q) $ として導出され、$ q $-指数的生成関数と関連づけられる。
• 対称恒等式 $ \sum_{k=0}^n (-1)^k q^{\binom{n-k}{2}} \binom{n}{k}_q \frac{\prod_{i=0}^{k-1} \omega(\cdot | \rho q^i)}{(\rho^2)_{2k}} = q^{\binom{n}{2}} \rho^n (1-q)^n Q_{n,n}(x,y|\rho,q) $ が、$ q $-二項定理および直交性を用いて証明された。
• $(t,q)$-正規測度は、$ q $-エアミート多項式およびアル＝サラーム–チハラ多項式の測度から構成され、その密度は正方形領域 $ S(q) \times S(q) $ 上で明示的に定義されている。これは、$ q $-設定における2変数正規分布を一般化する。