[論文レビュー] Around rational functions invertible in radicals

Yuri Burda|arXiv (Cornell University)|May 22, 2010

Coding theory and cryptography参考文献 4被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、代数的可解性を位相的・幾何的性質と結びつけることで、根号で逆関数が表せる有理関数を分類する。具体的には、その関数を支配する最小のガロア被覆の全空間の genus が 0 または 1 であることに帰着する。主な貢献は、解析的および位相的同値関係の下での完全な分類であり、分岐データと群論的構造を用い、Chebyshev多項式、べき乗写像、4次多項式を含む明示的公式を導出する。

ABSTRACT

A class of rational functions characterized by some wonderful properties is studied. The properties that identify this class include simple algebra (their inverses can be expressed in radicals), simple topology (the total space of the minimal Galois covering dominating them has genus 0 or 1) and simple local topol- ogy (branching data). Explicit formulae for these functions are obtained as well as their classification up to different equivalence relations.

研究の動機と目的

• 位相的および代数的不変量を用いて、逆関数が根号で表せる有理関数を特徴付ける。
• 左解析的、左右解析的、向きを保つ位相的同値関係の下で、そのような関数を分類する。
• 根号での可解性と、関数を支配する最小のガロア被覆の genus 間の対応関係を確立する。
• Chebyshev多項式やべき乗写像を含む、すべての根号で逆関数が表せる有理関数について明示的公式を提供する。
• モノドロミー群と群作用を用いて、Rittの古典的結果をより広範かつ統一的な枠組みへと拡張する。

提案手法

• 有理関数を支配する最小の分岐被覆の解析にガロア理論を用い、全空間の genus に注目する。
• 特にモノドロミー群の作用と対称群内の正規化群を用いた群論的技法の応用。
• 代数群の同種写像（C* または楕円曲線）を用いて、全空間が genus 0 または 1 の分岐被覆を分類する。
• 局所的モノドロミー情報（分岐指数）を用いて全空間の可解性を特徴付け、分岐点の数と種類に制約を課す。
• 有限自己同型群による代数群の商写像を用いて明示的有理関数を構成する。
• リーマン–ハーウィッツの公式とモジュラー曲線（例：X₀(3)）の性質を活用し、このような関数のモジュライ空間を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの有理関数 R: ℂP¹ → ℂP¹ が、逆関数を根号で表せるか？
• RQ2 R の最小ガロア被覆の位相的条件として、その逆関数が根号で可解であるための必要十分条件は何か？
• RQ3 モノドロミー群が可解で逆関数が根号で表せる有理関数は、解析的および位相的同値関係の下でどのように分類できるか？
• RQ4 このような関数を特徴付ける完全な分岐データ（分岐点の数と指数）は何か？
• RQ5 6次以下の多項式で、根号で逆関数が表せるものはどれか？また、それらは基本的な可解族からどのように合成できるか？

主な発見

• 根号で逆関数が表せる有理関数は、ちょうどその最小ガロア被覆の全空間が genus 0 または 1 であるものに限る。
• 分類には、ℂ* または楕円曲線を有限群作用で割った商から得られる関数が含まれ、同種写像から明示的公式が導かれる。
• 4つの単純分岐点をもつ3次有理関数に対しては、ちょうど4つの左同値類があり、モジュライ空間は j 不変量空間への4次分岐被覆であり、X₀(3) に同型である。
• 根号で逆関数が表せる多項式は、線形写像、z ↦ z^p（p は素数）、Chebyshev多項式、およびモノドロミー群が可解である4次多項式の合成である。
• Chebyshev多項式は、恒等式 Tₙ((u + u⁻¹)/2) = (uⁿ + u⁻ⁿ)/2 を用いて根号で逆関数が表せ、z = ½(√[n]{w + √(w²−1)} + √[n]{w − √(w²−1)}) を得る。
• 原始的可解モノドロミー群と根号で逆関数が表せる素数べき次数 pᵏ の多項式は、z ↦ zᵖ と Chebyshev多項式に限るが、p=2, k=2（次数4）の場合は、それらに加えてこのような関数が存在する。