[論文レビュー] Around the set-theoretical consistency of d-tameness of Metric Abstract Elementary Classes

Will Boney, Pedro Sepúlveda Zambrano|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2015

Advanced Topology and Set Theory参考文献 12被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、κ がほとんど強くコンパクトな基数であるならば、κ より小さい Löwenheim-Skolem 数をもつ任意の MAEC は <κ-d-たんらんであることを示すことにより、Metric Abstract Elementary Classes (MAECs) における d-たんらん性の集合論的整合性を確立する。証明は、Boney (2014) が AEC のたんらん性を示すために用いた超積と Łoś の定理の技法を連続的設定に適応したものであり、大基数に関する結果を度合い論理への応用に拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we prove that if $κ$ is a almost strongly compact cardinal, then any MAEC with Löwenheim-Skolem number below $κ$ is $

研究の動機と目的

• Metric Abstract Elementary Classes (MAECs) における d-たんらん性の集合論的整合性を確立すること。
• Boney の 2014 年の AEC たんらん性に関する結果を、大基数の仮定を用いて度合い論理の設定に拡張すること。
• κ がほとんど強くコンパクトであり、LS(𝒦) < κ であるならば、𝒦 は <κ-d-たんらんであることを示すこと。
• MAEC に対して Łoś の定理と超積技法を連続論理に一般化すること。
• d-たんらん性と d-型短縮性が、これまでに知られていたよりも弱い大基数仮定の下で MAEC で成り立つことを示すこと。

提案手法

• Boney (2014) が AEC のたんらん性を示すために用いた、超フィルターと超積の技法を度合い論理の設定に適応すること。
• 小部分モデルの集合 P*κM 上の LS(𝒦)+-完全で細かい超フィルターを用いて、ガロア型を分析すること。
• MAEC における Łoš の定理を適用して、𝒦 に属するモデルの超積が 𝒦 に属することを示し、極限における構造を保存すること。
• 完備性と度合い構造における閉包性を保証するために、滑らかに稠密な部分集合の超積を構成すること。
• 怪物モデル枠組みを用いてガロア型を定義し、超積における自己同型を分析すること。
• 超フィルターの可算完全性を活用して、度合い距離における不等式を強化し、厳密な境界を保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような大基数仮定の下で、MAEC の d-たんらん性は集合論的に整合的か？
• RQ2 Boney の 2014 年の AEC たんらん性結果における強コンパクト性の仮定は、度合い論理の設定で弱められるか？
• RQ3 超積構成と Łoš の定理は、連続論理における MAEC にどのように一般化されるか？
• RQ4 Löwenheim-Skolem 数は、MAEC における d-たんらん性を制御するために果たす役割は何か？
• RQ5 d-型短縮性は、d-たんらん性と同様の条件下で確立可能か？

主な発見

• κ がほとんど強くコンパクトな基数であり、LS(𝒦) < κ であるならば、任意の MAEC 𝒦 は <κ-d-たんらんである。
• 証明は、P*κM 上の LS(𝒦)+-完全で細かい超フィルターを用いて、小部分モデルをまたがる型の距離を分析する。
• 超積構成は 𝒦 への属性を保存するため、鎖の極限が度合いの意味でうまく振る舞うことを保証する。
• 超積における型の実現間の度合い距離は、厳密に δε より小さいため、型の同値性を制御可能である。
• 怪物モデルがなくても結果は成り立つが、結合性がなければ型同値の推移的閉包が失敗する可能性がある。
• この手法は d-型短縮性に対しても拡張可能であり、可測性や弱コンパクト性などの他の大基数性質に対しても適応可能である。