[論文レビュー] Around Uncertainty Principles of Ingham-type on $\R^n$, $\T^n$ and Two Step Nilpotent Lie Groups

Mithun Bhowmik, Swagato K. Ray+1 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2016

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^n$, $\mathbb{T}^n$, および2段階べき零リー群上で、コンパクトに台を持つ関数や半空間に台を持つ関数に対する古典的なフーリエ減衰条件を一般化したインガム型不確定性原理を確立する。このような関数が特定の指数関数的減衰率より速く減衰するフーリエ変換を持つ場合、それらは恒等的にゼロであることを証明し、その結果を用いて、ユークリッド空間およびべき零群上の時間に依存するシュレーディンガー方程式の解の唯一の連続性を確立する。

ABSTRACT

Classical results due to Ingham and Paley-Wiener characterize the existence of nonzero functions supported on certain subsets of the real line in terms of the pointwise decay of the Fourier transforms. We view these results as uncertainty principles for Fourier transforms. We prove certain analogues of these uncertainty principles on the $n$-dimensional Euclidean space, the $n$-dimensional torus and connected, simply connected two step nilpotent Lie groups. We also use these results to show a unique continuation property of solutions to the initial value problem for time-dependent Schrödinger equations on the Euclidean space and a class of connected, simply connected two step nilpotent Lie groups.

研究の動機と目的

• 実直線上の古典的なインガムおよびペーリー＝ウィーナーの不確定性原理を、高次元ユークリッド空間、トーラス、および2段階べき零リー群へと拡張すること。
• 関数のフーリエ変換の点での減衰条件を用いて、開集合または半空間に台を持つ非ゼロ関数の存在を特徴付けること。
• このような不確定性原理と、$\mathbb{R}^n$およびべき零群上の時間に依存するシュレーディンガー方程式の解の唯一の連続性の性質との関係を確立すること。
• べき零群上の調和解析および表現論を用いて、ユークリッド設定から非可換設定へと結果を一般化すること。

提案手法

• 開集合上で消える関数に対して、$\mathbb{R}^n$ 上でインガムの不確定性原理の多変数版を、減衰関数 $\theta(t)$ の可積分性条件を用いて証明する。
• $\mathbb{R}^n$ 上で半空間に台を持つ関数に対して、ペーリー＝ウィーナー定理の多変数版を、$\psi(t)/(1+t^2)$ の可積分性を用いて確立する。
• 周期性およびコンパクトアーベル群上のフーリエ解析を活用して、関数が開部分集合上で消える場合を考慮することで、$n$ 次元トーラス $\mathbb{T}^n$ にこれらの結果を適応する。
• 連結かつ simply connected な2段階べき零リー群 $G$ に枠組みを拡張する際、中心 $\mathfrak{z}$ を分析し、ウェイル作用素とフーリエ逆変換を用いたシュレーディンガー方程式の解構造を用いる。
• $L^2(G)$ のシュレーディンガー表現への表現論的分解を用いて、$v$ 変数および $z$ 変数における減衰を別々に分析する。
• シュレーディンガー方程式の初期値問題に不確定性原理を適用する際、解のフーリエ変換を $z$ 変数で分析し、$w((v,z),t_0)$ における減衰推定を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数 $f$ が $\mathbb{R}^n$ 上で開集合上で消え、かつそのフーリエ変換が $|\widehat{f}(y)| = O(e^{-\theta(|y|)|y|})$ と大前提で減衰する場合、どのような減衰条件を満たせば、$f$ は恒等的にゼロであるか？
• RQ2 関数 $\psi$ に対してどのような可積分性条件が、半空間に台を持つ非ゼロの $L^2$ 関数で、そのフーリエ変換が $e^{-\psi(|y|)}$ のように減衰するようなものが存在するかを保証するか？
• RQ3 コンパクトに台を持つ関数や半空間に台を持つ関数が自然に出現しない $n$ 次元トーラス $\mathbb{T}^n$ において、インガム型不確定性原理をどのように拡張できるか？
• RQ4 2段階べき零リー群上の不確定性原理を用いて、時間に依存するシュレーディンガー方程式の解の唯一の連続性を証明できるか？
• RQ5 初期データおよび固定時刻における解の減衰にどのような条件を課えると、解が $G \times \mathbb{R}$ 上で恒等的にゼロになるか？

主な発見

• 関数 $f \in L^1(\mathbb{R}^n)$ が開集合上で消え、かつ $|\widehat{f}(y)| = O(e^{-\theta(|y|)|y|})$ が $|y|$ が大きい場合に成り立つとき、$\int_1^\infty \frac{\theta(t)}{t} dt < \infty$ ならば、$f$ は恒等的にゼロである。
• 非ゼロの $L^2(\mathbb{R}^n)$ 関数が半空間に台を持ち、そのフーリエ変換が $|\widehat{f}(y)| = O(e^{-\psi(|y|)})$ と減衰するようなものが存在するための必要十分条件は、$\int_{\mathbb{R}} \frac{\psi(t)}{1+t^2} dt < \infty$ である。
• $n$ 次元トーラス $\mathbb{T}^n$ 上では、非ゼロ関数が開部分集合上で消える場合、そのフーリエ変換が $e^{-\theta(|y|)|y|}$ のように減衰するのは、$\int_1^\infty \frac{\theta(t)}{t} dt < \infty$ である場合に限る。
• 連結かつ simply connected な2段階べき零リー群 $G$ に対して、初期データ $f(v,z)$ が $e^{-|z|\theta(|z|)}$ のように減衰し、解 $w((v,z),t_0)$ が $e^{-\psi(|v|)}$ のように減衰するならば、$\int_\mathbb{R} \frac{\psi(r)}{1+r^2} dr = \infty$ かつ $\int_1^\infty \frac{\theta(r)}{r} dr = \infty$ ならば、$w \equiv 0$ である。
• $\mathbb{R}^n$ およびこのようなリー群上の時間に依存するシュレーディンガー方程式の唯一の連続性は、初期データと固定時刻における解の減衰の間の不確定性原理による相互作用から導かれる。
• 証明技法は、問題をシュレーディンガー表現に持ち上げ、ウェイル作用素とフーリエ逆変換を用い、$v$ 変数および $z$ 変数に別々に不確定性原理を適用することに依存する。