[論文レビュー] Arrangements of curves and algebraic surfaces

Giancarlo Urzúa|ArXiv.org|Nov 5, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、特異点のない射影的曲面のチチェン不変量と、曲線の配置から定義される対数曲面の対数チチェン不変量との間の強い漸近的関係を確立する。Dedekindの和と連分数の長さに基づくランダムなp乗根被覆を用いて、71/26 ≈ 2.730769に限りなく近いチチェン比を持つ、単連結な一般型曲面を構成し、これまでの記録を更新する。また、ランダム性が最適な漸近的挙動を達成するために不可欠であることを示している。

ABSTRACT

We prove a strong relation between Chern and log Chern invariants of algebraic surfaces. For a given arrangement of curves, we find nonsingular projective surfaces with Chern ratio arbitrarily close to the log Chern ratio of the log surface defined by the arrangement. Our method is based on sequences of random p-th root covers, which exploit a certain large scale behavior of Dedekind sums and lengths of continued fractions. We show that randomness is necessary for our asymptotic result, providing another instance of "randomness implies optimal". As an application over the complex numbers, we construct nonsingular simply connected projective surfaces of general type with large Chern ratio. In particular, we improve the Persson-Peters-Xiao record for Chern ratios of such surfaces.

研究の動機と目的

• 特異点のない射影的曲面のチチェン不変量と、曲線の配置から生じる対数曲面の対数チチェン不変量との間の深い関係を確立すること。
• 曲線の配置における重みのランダムな割り当てが、関連する対数曲面の対数チチェン比に限りなく近いチチェン比を持つ曲面を生じることを示すこと。
• 複素数体上での単連結な一般型曲面のチチェン比の既知の記録を改善すること。
• この構成において、ランダム性が最適な漸近的挙動を達成するために、単なる道具ではなく必須であることを示すこと。
• 71/26 ≈ 2.730769に近い範囲（2.703, 3）で、かつそれ以前に到達できなかったチチェン比を持つ曲面の明示的例を提供すること。

提案手法

• 重み付き曲線配置に沿ったp乗根被覆の繰り返しを用いて、特異点のない射影的曲面を構成すること。
• 曲線配置の最小対数解消により定義される対数曲面 (Y, A̅) を用い、その対数チチェン不変量を近似のターゲットとする。
• 重みの影響をDedekindの和および負の正則連分数の長さを用いて表現すること。
• Girstmair (2006, 2007) が得たDedekindの和および連分数長の大型漸近的結果を応用し、不変量を制御すること。
• 素数pのランダムな分割が、p → ∞ のとき確率1に近づく「良い」重みを生成することを証明すること。
• ランダムに重みが割り当てられた曲線配置の解消上でのp乗根被覆として、ランダムな曲面を定義すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異点のない射影的曲面のチチェン比は、曲線配置から定義される対数曲面の対数チチェン比に近づけるか？
• RQ2 この構成において、最適な漸近的挙動を達成するために、重みの割り当てにおけるランダム性は必須か？
• RQ3 複素数体上での単連結な一般型曲面が到達可能なチチェン比の上界は何か？
• RQ4 71/26 ≈ 2.730769に限りなく近いチチェン比を持つ曲面を、これまでに到達できなかった範囲で構成可能か？
• RQ5 曲線配置に基づくランダムなp乗根被覆は、大きなチチェン比と自明な基本群を持つ曲面を生成するか？

主な発見

• 構成された曲面のチチェン比は、関連する対数曲面 (Y, A̅) の対数チチェン比に限りなく近づけることができる。
• 単純な交わりを持つ可除的配置における曲線への重みのランダムな割り当ては、チチェン比が対数チチェン比に近づく曲面を生じさせ、これが最適である。
• 本構成により、71/26 ≈ 2.730769に限りなく近いチチェン比を持つ単連結な一般型曲面が得られ、Persson-Peters-Xiaoの記録を更新した。
• チチェン比が8/3に限りなく近づく唯一の曲面は、双対Hesse配置に関連するものに限られる。
• 本手法は、Dedekindの和および連分数長の漸近的挙動に依存しており、GirstmairのF近傍および通常の整数の概念を用いて制御される。
• 大きな素数pに対して、pのランダムな分割は確率1に近づく「良い」重みを生成する。これは、ランダム性が漸近的結果を達成するために本質的であることを証明する。