[論文レビュー] Arrow's Impossibility Theorem Without Unanimity

Elchanan Mossel|ArXiv.org|Jan 29, 2009

Game Theory and Voting Systems参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、緩和された条件下でアローの逆説定理の新しい簡潔な証明を提示している。非定義的条件（WNI）を満たすが、全員一致条件を含まない場合でも、トランジティビティおよび不関係な代替物の独立性（IIA）を満たすいかなる憲法（constitution）も独裁であることを示している。証明は3つの代替物に対して局所的ピボタル Voter 論法を用い、このような関数を完全に特徴づけ、今後の研究における定量的拡張を可能にしている。

ABSTRACT

Arrow's Impossibility Theorem states that any constitution which satisfies Transitivity, Independence of Irrelevant Alternatives (IIA) and Unanimity is a dictatorship. Wilson derived properties of constitutions satisfying Transitivity and IIA for unrestricted domains where ties are allowed. In this paper we consider the case where only strict preferences are allowed. In this case we derive a new short proof of Arrow theorem and further obtain a new and complete characterization of all functions satisfying Transitivity and IIA.

研究の動機と目的

• 全員一致条件よりも弱い条件の下で、特に全員一致の弱い版（WNI）を用いることで、アローの逆説定理を再導出すること。
• 厳密な好みのみを許容する場合に、トランジティビティおよびIIAを満たすすべての憲法を完全に特徴づけること。
• 定量的拡張が可能となるような、局所的ピボタル Voter に基づく証明技法を開発すること。
• 全員一致条件に依存しないことにより、従来の研究の限界を克服し、確率的設定においては測定が困難な全員一致条件への依存を回避すること。

提案手法

• IIA およびトランジティビティの下で、ピボタル Voter の存在を示すために、2人の Voter と3つの代替物に基づく局所的議論を用いる。
• バーバーラのピボタル Voter 法の変種を適用し、社会的好みが代替物集合全体にわたってどのように伝播するかを追跡する。
• 代替物の数に関する帰納法を用い、憲法が独裁であるか非定数関数であることが既知の小さな集合から段階的に構築する。
• Lemma 3.2 および Lemma 3.3 を活用し、代替物の部分集合が独裁関数または非定数関数を誘導する場合、新たな代替物を追加しても構造が保存されることを示す。
• WNI および IIA が成り立つ場合に非独裁的結果が排除されることを、矛盾による議論により示す。特に、三つ組みの社会的順序付けを分析することで検証する。
• 好みのプロファイルの構造および置換における社会的選択関数の振る舞いに依存し、グローバルな独裁を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 全員一致条件を仮定せず、弱い非定義的条件（WNI）のもとで、アローの逆説定理を証明できるか？
• RQ2 厳密な好みのみを許容する場合、トランジティビティおよびIIAを満たす憲法の完全な集合は何か？
• RQ3 局所的ピボタル Voter 論法をどのように用いることで、社会的選択におけるグローバルな独裁結果を導出できるか？
• RQ4 この証明技法を、アロー定理の定量的版を導出するために適応可能か？
• RQ5 IIA およびトランジティビティの文脈において、WNI を満たす憲法と全員一致を満たす憲法との構造的差異は何か？

主な発見

• 3つ以上の代替物に対してトランジティビティ、IIA、およびWNIを満たすいかなる憲法も、全員一致条件がなくても独裁である。
• 本稿は、このような関数の完全な特徴づけを提供している：n人の個人に対して、正確に2n個の独裁関数（恒等写像または逆写像）が存在する。
• 関数がサイズ≥3の部分集合上で独裁的であるか、またはペア上で非定数関数であるならば、任意の新しい代替物を追加しても独裁構造が保存されることを証明した。
• この結果は、全員一致が成立しなくてもWNIが独裁を十分に示すことを示しており、標準的な独裁の定義を逆写像を含む一般化したものに拡張する必要があることを示唆する。
• この手法により、今後の研究で定量的アロー定理が得られ、IIA関数のトランジティビティ確率が高ければ、その関数はε-近似で独裁関数に近いことが示された。
• 証明は測定可能な全員一致に依存しないため、大規模社会における確率的およびロバストネス解析に適している。