[論文レビュー] Art Gallery Localization

Prosenjit Bose, Jean-Lou De Carufel+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2017

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、可視なタワーからの距離および位置情報に基づき、自己局所化を実現するための単純多角形における新規なタワープレースメントアルゴリズムを提示する。エージェントは、三辺測定法を用いて座標を特定する。本稿では、完全な局所化に必要なタワーの数が最大で ⌊2n/3⌋ 個で十分であり、かつそれが必要最小限であることを証明しており、以前の上界 ⌊8n/9⌋ よりも改善されている。

ABSTRACT

We study the problem of placing a set $T$ of broadcast towers in a simple polygon $P$ in order for any point to locate itself in the interior of $P$. Let $V(p)$ denote the visibility polygon of a point $p$, as the set of all points $q \in P$ that are visible to $p$. For any point $p \in P$: for each tower $t \in T \cap V(p)$ the point $p$ receives the coordinates of $t$ and the Euclidean distance between $t$ and $p$. From this information $p$ can determine its coordinates. We show a tower-positioning algorithm that computes such a set $T$ of size at most $\lfloor 2n/3 floor$, where $n$ is the size of $P$. This improves the previous upper bound of $\lfloor 8n/9 floor$ towers. We also show that $\lfloor 2n/3 floor$ towers are sometimes necessary.

研究の動機と目的

• 単純多角形内に配置されたブロードキャストタワーの最小集合を設計し、内部の任意の点（エージェント）が三辺測定法により絶対座標を特定できるようにすること。
• 局所化に必要なタワー数の上界を改善し、以前の ⌊8n/9⌋ から ⌊2n/3⌋ に低減すること。
• 分解過程で生じる一般位置でない部分多角形に対応できるように、トーティの多角形分割法を適合させること。
• 二つのタワーしか見えない場合でも、エージェントの位置を一意に特定できる局所化アルゴリズムを開発すること。
• ⌊2n/3⌋ 個のタワーが、場合によっては必要不可欠であることを証明し、境界がタイトであることを示すこと。

提案手法

• 単純多角形を高々 ⌊n/3⌋ 個の星型部分多角形に分割するため、トーティの多角形分割法を適応し、各部分多角形に完全視界を確保するためのタワーのペアを配置する。
• 分解過程で生じる一般位置でない頂点に対応できるように分割プロセスを修正し、各部分多角形のカーネル内に少なくとも二つの異なるタワーが存在することを保証する。
• 三辺測定の曖昧な解を解消するための「偶奇性のテクニック」を用いる：二つのタワーしか見えない場合、二つのタワー間の距離の分子の偶奇性に基づいて正しい位置を選択する。
• 可視タワーを中心とする円の交点を用いて古典的な三辺測定法を実装し、エージェントまでの距離を半径とする。
• 多角形の構造に関する事前知識が不要な、可視タワーからの入力（座標と距離）のみに依存する局所化アルゴリズムを導入する。
• 修正された分割法が、各部分多角形が二つのタワーの視界領域によって完全にカバーされることを証明することで、手法の妥当性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の単純多角形において、三辺測定法による完全な自己局所化を実現するための最小タワー数は何か？
• RQ2 トーティの多角形分割法を、頂点が一般位置にない場合でも、各部分多角形にカーネル内に二つの異なるタワーが存在するように適合できるか？
• RQ3 二つの円から二つの可能な位置が得られる曖昧な三辺測定の解を、幾何的または算術的性質を用いて一意に解消できるか？
• RQ4 局所化に必要なタワー数の上界 ⌊2n/3⌋ はタイトか、それよりさらに低減可能か？
• RQ5 多角形の三辺測定における最適なタワー数を求める問題は、NP困難であるか？

主な発見

• 本稿では、任意の単純多角形において完全な局所化を実現するための上界として ⌊2n/3⌋ 個のタワーを確立し、以前の ⌊8n/9⌋ よりも改善された。
• ⌊2n/3⌋ 個のタワーが、場合によっては必要不可欠であることを証明し、この境界がタイトであり、漸近的に改善できないことを示した。
• 著者らは、トーティの元の主張（命題2および7）に誤りを特定し、修正することで、分割法の理論的基盤を強化した。
• 提案された局所化アルゴリズムは、可視タワーの座標と距離のみを用いてエージェントの位置を一意に特定でき、曖昧性は偶奇性に基づくルールで解消される。
• 分割過程で生じる一般位置でない部分多角形に対しても、本手法は耐障害性を示し、トーティの手法の適用範囲を拡張した。
• 本稿では、三辺測定の最適タワー数を計算する問題がおそらくNP困難であると示唆し、今後の研究の方向性として提示した。