[論文レビュー] Arthur packets for $p$-adic groups by way of microlocal vanishing cycles of perverse sheaves, with examples

Clifton Cunningham, Andrew Fiori+3 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 17被引用数 7

ひとこと要約

本論文は、$p$-進群のアーバート・パケットの幾何的実現を、等変 perverse sheaf の微小局所消失サイクルを用いて提案し、実群におけるアダムズ、バーバーシュ、ヴォーガンの研究に類似した微小局所化の役割を果たす関手を確立する。主な貢献は、この微小局所枠組みを通じて、アーバート・パケットを ABV-パケットとして、および転送係数を幾何的に記述する予想を提示することであり、複数の例で検証されている。

ABSTRACT

In this article we propose a geometric description of Arthur packets for $p$-adic groups using vanishing cycles of perverse sheaves. Our approach is inspired by the 1992 book by Adams, Barbasch and Vogan on the Langlands classification of admissible representations of real groups and follows the direction indicated by Vogan in his 1993 paper on the Langlands correspondence. Using vanishing cycles, we introduce and study a functor from the category of equivariant perverse sheaves on the moduli space of certain Langlands parameters to local systems on the regular part of the conormal bundle for this variety. In this article we establish the main properties of this functor and show that it plays the role of microlocalization in the work of Adams, Barbasch and Vogan. We use this to define ABV-packets for pure rational forms of $p$-adic groups and propose a geometric description of the transfer coefficients that appear in Arthur's main local result in the endoscopic classification of representations. This article includes conjectures modelled on Vogan's work, especially the prediction that Arthur packets are ABV-packets for $p$-adic groups. We gather evidence for these conjectures by verifying them in numerous examples.

研究の動機と目的

• $p$-進群におけるアーバート・パケットの幾何的枠組みを、微小局所的手法を用いて開発すること。
• perverse sheaf の消失サイクルを用いて、実群から $p$-進群への微小局所化関手の一般化を達成すること。
• この幾何的アプローチを用いて、$p$-進群の純粋有理形式の ABV-パケットを定義すること。
• アーバートの内紛類分類における転送係数の幾何的解釈を提示すること。
• $p$-進設定においてアーバート・パケットが ABV-パケットと一致するという予想に証拠を提供すること。

提案手法

• ラングランズパラメータのモジュライ空間における等変 perverse sheaf の消失サイクルを用いる。
• 等変 perverse sheaf から、余接バンドルの正則部上の局所系統への関手を構成する。
• この関手を、アダムズ、バーバーシュ、ヴォーガンの実群における研究と類似した微小局所化ツールとして適用する。
• 余接バンドルの幾何を活用して、$p$-進群の ABV-パケットを定義する。
• この関手を用いて、アーバートの局所内紛類分類における転送係数を分析・記述する。
• 古典的および例外的群を含む複数の例における明示的計算を通じて、予想を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微小局所消失サイクルをどのように用いて、$p$-進群のアーバート・パケットを定義できるか？
• RQ2 提案された微小局所化関手が、アーバート・パケットの構造をどの程度回復できるか？
• RQ3 この幾何的枠組みにおいて、$p$-進群のアーバート・パケットは ABV-パケットと同値であるか？
• RQ4 アーバートの内紛類分類における転送係数は、この関手を通じて幾何的に解釈可能か？
• RQ5 余接バンドルは、$p$-進群における局所ラングランズ対応を実現するために果たす役割は何か？

主な発見

• 等変 perverse sheaf から、余接バンドルの正則部上の局所系統への関手が、実の場合の微小局所化と類似した重要な性質を満たすことが示された。
• この構成により、$p$-進群の純粋有理形式の ABV-パケットが微小局所データを用いて幾何的に定義された。
• アーバートの主要な局所結果における転送係数が、 perverse sheaf の微小局所構造から自然に生じるという予想が提示された。
• アーバート・パケットが $p$-進設定において ABV-パケットと一致するという予想は、複数の例での検証によって支持された。
• 消失サイクルを用いて、アダムズ–バーバーシュ–ヴォーガンのアプローチを実群から $p$-進群へ一般化した。
• perverse sheaf 理論を用いて、$p$-進群における局所ラングランズ対応への新しい幾何的道筋を確立した。