[論文レビュー] Artificial Neural Network Approach for Solving Fractional order initial value problems

Susmita Mall, Snehashish Chakraverty|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2018

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 32被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、誤差逆伝播を用いた多層フィードフォワード構造を持つ新しい人工ニューラルネットワーク（ANN）手法を提案し、分数階初期値問題（FIVPs）を解く。初期条件をネットワーク出力に埋め込み、教師なし学習により損失関数を最小化することで、高い精度の近似解が得られ、数値結果は従来の手法と強く一致する。

ABSTRACT

In this paper, an Artificial Neural Network (ANN) technique is developed to find solution of celebrated Fractional order Differential Equations (FDE). Compared to integer order differential equation, FDE has the advantage that it can better describe sometimes various real world application problems of physical systems. Here we have employed multi-layer feed forward neural architecture and error back propagation algorithm with unsupervised learning for minimizing the error function and modification of the parameters (weights and biases). Combining the initial conditions with the ANN output gives us a suitable approximate solution of FDE. To prove the applicability of the concept, some illustrative examples are provided to demonstrate the precision and effectiveness of this method. Comparison of the present results with other available results by traditional methods shows a close match which establishes its correctness and accuracy of this method.

研究の動機と目的

• 解析的に解くのが難しい分数階微分方程式（FDEs）を解くためのメッシュフリーでメタヒューリスティックな計算手法を開発すること。
• 複雑なまたは非整数階導関数を含むFDEsを扱う際、従来の数値的手法の限界を克服すること。
• さまざまな分数階を持つFIVPsの解を近似するための人工ニューラルネットワークの実用性と精度を示すこと。
• ベンチマーク例を用いて、提案されたANNフレームワークを既存の解析的・数値的解と照合して検証すること。

提案手法

• 分数階初期値問題の解を近似するために、多層フィードフォワードニューラルネットワークが用いられる。
• FDEの残差と初期条件に基づいて導出された損失関数を最小化する教師なし学習戦略を用いてネットワークを訓練する。
• 損失関数は、分数階微分方程式の残差と初期条件の違反を組み合わせ、複合的な誤差指標を形成する。
• 重みとバイアスは、訓練中に総誤差を最小化するように逆伝播アルゴリズムで更新される。
• 初期条件は、ネットワーク出力構造に直接埋め込まれ、訓練開始時点で満たされるように保証される。
• 領域の離散化を必要とせず、精度と収束性を評価するために、いくつかの代表的なFIVPsに本手法を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 人工ニューラルネットワークは、高い精度で分数階初期値問題の解を効果的に近似できるか？
• RQ2 本手法で提案されたANNベースのアプローチは、FDEsを解く従来の数値的・解析的手法と比較して、どの程度高い精度を示すか？
• RQ3 教師ありデータや領域分割を必要としない教師なし学習と逆伝播を用いて、FDEsをどの程度効果的に解くことができるか？
• RQ4 ネットワーク出力構造に初期条件を直接組み込むことで、解の整合性と収束性が向上するか？
• RQ5 本手法は、さまざまな分数階および非線形FDEsに対してどの程度頑健であるか？

主な発見

• 提案されたANN手法は、従来の数値的手法と同等の解の精度を達成しており、数値結果が正確な解またはベンチマーク解と強く一致する。
• 本手法は、さまざまなタイプの分数階初期値問題を効果的に処理でき、異なる次数を持つ線形および非線形方程式を含む。
• 誤差逆伝播を用いた教師なし学習の活用により、教師ありデータやグリッドベースの離散化を必要とせず、効果的な訓練が可能である。
• 初期条件をネットワーク出力構造に直接埋め込むことで、解が訓練開始時点で初期制約を満たすことが保証される。
• 多数のテストケースにおいて本手法は頑健で一貫性があり、分数階微積分問題への広範な応用の可能性を示している。