[論文レビュー] Artin groups of type B and D

John Crisp, L. Paris|ArXiv.org|Oct 29, 2002

Geometric and Algebraic Topology参考文献 11被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、Artin群の型$B_n$および$D_n$が、自由群$F$と$n$文字のブレード群$\mathcal{B}_n$を用いた半自己積$F \rtimes \mathcal{B}_n$として実現可能であることを確立している。$\mathcal{B}_n$による$F$への作用は、正則な軌道空間のファイブレーションから自然に生じ、これらのArtin群の外部自己同型群は小さいことが示されている：$B_n$では位数2、$D_n$では$n$が偶数のとき位数4、奇数のとき位数2である。

ABSTRACT

We show that each of the Artin groups of type $B_n$ and $D_n$ can be presented as a semidirect product $F times {\cal B}_n$, where $F$ is a free group and ${\cal B}_n$ is the $n$-string braid group. We explain how these semidirect product structures arise quite naturally from fibrations, and observe that, in each case, the action of the braid group ${\cal B}_n$ on the free group $F$ is classical. We prove that, for each of the semidirect products, the group of automorphisms which leave invariant the normal subgroup $F$ is small: namely, ${ m Out}(A(B_n),F)$ has order 2, and ${ m Out}(A(D_n),F)$ has order 4 if $n$ is even and 2 if $n$ is odd. It is known that the Artin group of type $D_n$ may be viewed as an index 2 subgroup of the $n$-string braid group over some orbifold. Applying the same techniques, we show that this latter group has an outer automorphism group of order 2. Finally, we determine the automorphism groups of all Artin groups or rank 2.

研究の動機と目的

• Artin群の型$B_n$および$D_n$の内部構造を、ブレード群$\mathcal{B}_n$を含む半自己積として表現することにより理解すること。
• 正則な軌道空間のファイブレーションを介して、$A(B_n)$および$A(D_n)$における半自己積構造の幾何的起源を説明すること。
• $A(B_n)$および$A(D_n)$の外部自己同型群を決定すること、特に$\mathrm{Out}(A(B_n), F)$および$\mathrm{Out}(A(D_n), F)$の大きさを特定すること。
• 特に型$B_2$および$D_2$について、ランク2のArtin群の完全な自己同型群を計算すること。
• ブレード群の自己同型に関する技法を、$D_n$に関連するオルビフォールドブレード群を含む関連群へと拡張すること。

提案手法

• 自由群$F$と$\mathcal{B}_n$が作用する半自己積$F \rtimes \mathcal{B}_n$として$A(B_n)$および$A(D_n)$を提示し、$\mathcal{B}_n$による$F$への作用を古典的モノドロミー作用として与える。
• $N(A_{n-1})$上への正則な軌道空間$N(B_n)$および$N(D_n)$の位相的ファイブレーションを用いて、半自己積分解を導出する。
• $\mathcal{B}_n$による$F$への作用を解析し、それが$B_n$のArtinの古典的表現に対応すること、および$D_n$では$A_{n-1}$型特異点のミルナー多様体上のモノドロミーに対応することを示す。
• 共役類や中心元を含む群論的技法を用いて、内自己同型を除いた自己同型を分類する。
• Artin群の中心$Z(A)$を用いて商群$\overline{A} = A / Z(A)$に自己同型問題を還元する。
• $a, b$を用いたランク2のArtin群の提示（$m$が奇数のとき$a^m = b^2$、$m$が偶数のとき$a^k b = b a^k$）を用い、$\overline{A}$への誘導写像を介して自己同型を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Artin群の型$B_n$および$D_n$は、どのようにしてブレード群$\mathcal{B}_n$を含む半自己積として分解可能か？
• RQ2 $A(B_n)$および$A(D_n)$における半自己積構造の幾何的または位相的起源は何か？
• RQ3 正規自由部分群$F$を保存する$\mathrm{Out}(A(B_n), F)$の位数は何か？
• RQ4 $\mathrm{Out}(A(D_n), F)$の位数は何か？また、$n$の偶奇に依存するか？
• RQ5 ランク2のArtin群の型$B_2$および$D_2$の完全な自己同型群は何か？

主な発見

• Artin群$A(B_n)$は、ランク$n-1$の自由群$F$と$\mathcal{B}_n$を用いた半自己積分解$F \rtimes \mathcal{B}_n$を持つ。$\mathcal{B}_n$による$F$への作用はArtinの古典的表現に対応する。
• Artin群$A(D_n)$もまた、$F \rtimes \mathcal{B}_n$という半自己積構造を持つ。この作用は、$A_{n-1}$型特異点のミルナー多様体上のモノドロミーから生じる。
• $\mathrm{Out}(A(B_n), F)$の外部自己同型群の位数は2であり、これは$F$を内自己同型を除いて保存する自己同型が2つしかないことを意味する。
• $A(D_n)$について、$n$が偶数のとき$\mathrm{Out}(A(D_n), F)$の位数は4、奇数のときは2である。
• $B_2$型のランク2Artin群の自己同型群は、内自己同型を除いた後は自明である。これは、必要な条件を満たすのは恒等自己同型のみであるという証明により示されている。
• $D_n$に関連するオルビフォールドブレード群の外部自己同型群の位数は2であり、この結果は関連する群構造へと拡張されている。