[論文レビュー] As Easy as $\mathbb Q$: Hilbert's Tenth Problem for Subrings of the Rationals and Number Fields

Kirsten Eisentraeger, Russell Miller+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2016

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、Hilbertの10番目の問題（HTP）のチューリング同等性を保つように、$ R \subseteq \mathbb{Q} $ の計算可能な表現を持つ部分環および数体の部分環 $ \mathcal{O}_{K,\mathscr{S}} $ を構成する。この目的を達成するために、指定された下自然密度（0および任意の計算可能 $ r \in [0,1] $ を含む）を持つ素数集合 $ \mathscr{S} $ を選択し、$ \operatorname{HTP}(R) \equiv_T \operatorname{HTP}(\mathbb{Q}) $ を保証する。さらに、この結果を数体へ拡張し、$ \operatorname{HTP}(\mathcal{O}_{K,\mathscr{S}}) \equiv_T \operatorname{HTP}(K) \leq_T \operatorname{HTP}(\mathbb{Q}) $ を示す。本研究は、$ \mathbb{Q} $ と同一の決定不能性次数を持つ、多様な環の階層を提供する。

ABSTRACT

Hilbert's Tenth Problem over the field $\mathbb Q$ of rational numbers is one of the biggest open problems in the area of undecidability in number theory. In this paper we construct new, computably presentable subrings $R$ of $\mathbb Q$ having the property that Hilbert's Tenth Problem for $R$, denoted $HTP(R)$, is Turing equivalent to $HTP(\mathbb Q)$. We are able to put several additional constraints on the rings $R$ that we construct. Given any computable nonnegative real number $r \leq 1$ we construct such a ring $R = Z[\frac1p : p \in S]$ with $S$ a set of primes of lower density $r$. We also construct examples of rings $R$ for which deciding membership in $R$ is Turing equivalent to deciding $HTP(R)$ and also equivalent to deciding $HTP(\mathbb Q)$. Alternatively, we can make $HTP(R)$ have arbitrary computably enumerable degree above $HTP(\mathbb Q)$. Finally, we show that the same can be done for subrings of number fields and their prime ideals.

研究の動機と目的

• 数体の部分環および $ \mathbb{Q} $ の部分環における Hilbertの10番目の問題（$\mathrm{HTP}$）の計算複雑性を調査し、未解決の $\mathrm{HTP}(\mathbb{Q})$ の決定可能性と関連付けること。
• $ \mathscr{S} $ が無限かつco-無限であっても、$\mathrm{HTP}(R) \equiv_T \mathrm{HTP}(\mathbb{Q}) $ となるような部分環 $ R = \mathbb{Z}[\mathscr{S}^{-1}] \subseteq \mathbb{Q} $ を構成すること。
• 同様の構成を数体における整数環を素数集合で局所化した環へ拡張し、類似のチューリング同等性の結果を示すこと。
• 素数集合 $\mathscr{S}$ の密度を用いて、$\mathrm{HTP}(R) $ の複雑性を調整できることを示し、下密度 0 または任意の計算可能 $ r \in [0,1] $ を達成できることを示すこと。
• $ R $ における属 Membership、$\mathrm{HTP}(R)$、および $\mathrm{HTP}(\mathbb{Q}) $ の間の相互作用を調査し、それらがすべてチューリング同等であるケースを示すこと。

提案手法

• $ \mathscr{S} $ を指定された下自然密度を持つ計算的に列挙可能（c.e.）な素数集合として選ぶことにより、$ R = \mathbb{Z}[\mathscr{S}^{-1}] \subseteq \mathbb{Q} $ の部分環を構成すること。
• ディオファントス的定義およびモデルの理論を用い、特にロビンソンおよびプーンエンの結果を活用して、$\mathrm{HTP}(R)$ の決定不能性と $\mathbb{Q}$ のそれとの関係を確立すること。
• チューリング還元を用いて $\mathrm{HTP}(R) $ と $\mathrm{HTP}(\mathbb{Q}) $ を比較し、オракル構成および還元を用いて $\mathrm{HTP}(R) \equiv_T \mathrm{HTP}(\mathbb{Q}) $ を示すこと。
• 数体 $ K $ へ枠組みを拡張し、$ \mathcal{O}_{K,\mathscr{S}} $ を $ \mathscr{S} $-整数環として定義し、類似の密度および還元的議論を用いて $\mathrm{HTP}(\mathcal{O}_{K,\mathscr{S}}) $ を分析すること。
• 任意の計算可能実数 $ r \in [0,1] $ に対して、$ K $-素数のc.e.集合 $ \mathscr{S} $ が存在し、下密度が $ r $ であるように選べ、$ \mathrm{HTP}(\mathcal{O}_{K,\mathscr{S}}) \equiv_T \mathrm{HTP}(K) \leq_T \mathrm{HTP}(\mathbb{Q}) $ が成り立つことを証明すること。
• すべての $ K $-素数は、有限または無限個の互いに素なc.e.集合 $ \mathscr{S}_i $ に分割可能であり、各 $ \mathscr{S}_i $ は上密度1を持つ。このとき、各 $ i $ に対して $ \mathrm{HTP}(\mathcal{O}_{K,\mathscr{S}_i}) \equiv_T \mathrm{HTP}(K) $ が成り立つこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ R \subseteq \mathbb{Q} $ が $ \mathrm{HTP}(R) \equiv_T \mathrm{HTP}(\mathbb{Q}) $ を満たすように構成可能か？ ただし $ R $ が $ \mathbb{Q} $ 自体でない場合も含む。
• RQ2 逆数にした素数集合 $ \mathscr{S} $ の密度と、$ \mathrm{HTP}(\mathbb{Z}[\mathscr{S}^{-1}]) $ の計算複雑性との関係は何か？
• RQ3 このような環の構成を数体における整数環へ拡張可能か？ 類似のチューリング同等性の結果が成り立つか？
• RQ4 $ R $ における属 Membership、$ \mathrm{HTP}(R) $、および $ \mathrm{HTP}(\mathbb{Q}) $ がすべてチューリング同等であるケースを実現可能か？
• RQ5 $ \mathrm{HTP}(R) $ の複雑性を $ \mathrm{HTP}(\mathbb{Q}) $ より任意に高くできるか？ あるいは、任意のc.e.度に調整可能か？

主な発見

• 任意の計算可能実数 $ r \in [0,1] $ に対して、下密度が $ r $ である計算的に列挙可能な素数集合 $ \mathscr{S} $ が存在し、$ \mathrm{HTP}(\mathbb{Z}[\mathscr{S}^{-1}]) \equiv_T \mathrm{HTP}(\mathbb{Q}) $ が成り立つ。
• 下密度 0 である $ \mathscr{S} $ を持つ部分環 $ R = \mathbb{Z}[\mathscr{S}^{-1}] \subseteq \mathbb{Q} $ が存在し、$ \mathrm{HTP}(R) \equiv_T \mathrm{HTP}(\mathbb{Q}) $ が成り立ち、$ R $ における属 Membership に対しても同様にチューリング同等である。
• 任意の計算的に列挙可能な集合 $ B \subset \mathbb{Z}_{>0} $ で $ \mathrm{HTP}(\mathbb{Q}) \leq_T B $ を満たすものに対して、下密度 0 である $ \mathscr{S} $ を持つ環 $ R = \mathbb{Z}[\mathscr{S}^{-1}] $ が存在し、$ \mathrm{HTP}(R) \equiv_T B $ が成り立ち、$ \mathrm{HTP}(R) \equiv_T \mathrm{HTP}(\mathbb{Q}) $ を達成できる。
• 任意の数体 $ K $ において、すべての $ K $-素数は、有限個の互いに素なc.e.集合 $ \mathscr{S}_1, \dots, \mathscr{S}_m $ に分割可能であり、各 $ \mathscr{S}_i $ は上密度1である。このとき、各 $ i $ に対して $ \mathrm{HTP}(\mathcal{O}_{K,\mathscr{S}_i}) \equiv_T \mathrm{HTP}(K) \leq_T \mathrm{HTP}(\mathbb{Q}) $ が成り立つ。
• 無限個の互いに素なc.e.集合 $ \mathscr{S}_1, \mathscr{S}_2, \dots $ の $ K $-素数が存在し、各 $ \mathscr{S}_j $ は下密度 0 である。このとき、$ \bigcup_j \mathscr{S}_j $ はすべての $ K $-素数をカバーし、すべての $ j $ に対して $ \mathrm{HTP}(\mathcal{O}_{K,\mathscr{S}_j}) \equiv_T \mathrm{HTP}(K) $ が成り立つ。
• 任意の数体 $ K $ に対して、下密度 0 である $ K $-素数のc.e.集合 $ \mathscr{W} $ が存在し、$ \mathrm{HTP}(\mathbb{Q}) \geq_T \mathrm{HTP}(K) \equiv_T \mathrm{HTP}(\mathcal{O}_{K,\mathscr{W}}) $ が成り立つ。