[論文レビュー] Aspects of enumeration and generation with a string automata representation

Marco Almeida, Nelma Moreira+1 more|ArXiv.org|Jun 21, 2009

Algorithms and Data Compression参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、k文字のアルファベット上での初期状態が接続された決定的有限オートマトン（ICDFA）に対して、一意な文字列表現を提示し、ICDFA 構造の正確な列挙、一様なランダム生成、最適な符号化を可能にしている。再帰的カウントと事前計算されたテーブルを活用することで、最小オートマトンおよび正則言語の効率的な並列カウントが可能となり、実験結果から k ≥ 3 および n ≥ 80 の場合、ICDFA の99％以上が最小であることが確認された。

ABSTRACT

In general, the representation of combinatorial objects is decisive for the feasibility of several enumerative tasks. In this work, we show how a (unique) string representation for (complete) initially-connected deterministic automata (ICDFAs) with n states over an alphabet of k symbols can be used for counting, exact enumeration, sampling and optimal coding, not only the set of ICDFAs but, to some extent, the set of regular languages. An exact generation algorithm can be used to partition the set of ICDFAs in order to parallelize the counting of minimal automata (and thus of regular languages). We present also a uniform random generator for ICDFAs that uses a table of pre-calculated values. Based on the same table it is also possible to obtain an optimal coding for ICDFAs.

研究の動機と目的

• 非同型の初期状態が接続された決定的有限オートマトン（ICDFA）に対して、一意で標準的な文字列表現を構築すること。
• 再帰的カウントと事前計算されたテーブルを用いて、ICDFA 構造の正確な列挙と一様なランダム生成を可能にすること。
• ICDFA の空間を分割することで、最小オートマトンおよび正則言語の効率的な並列カウントを支援すること。
• 整数と文字列表現との間の全単射を確立することで、ICDFA の最適な符号化を達成すること。
• 特に大きなアルファベットと状態数において、ICDFA の大部分が最小であるという予想を検証すること。

提案手法

• 幅優先探索による ICDFA 構造の走査に基づく標準的な文字列表現を定義し、アルファベットに全順序を導入することで一意性を保証する。
• 状態遷移を追跡するフラグ列を用い、部分和の再帰的関係式を用いて順序付けられた列挙と整数へのマッピングを可能にする。
• 再帰的公式から得られる値の事前計算テーブルを用いて、一様なランダム生成と整数符号化を支援する。
• フラグおよび記号の配置ルールに従い、辞書式順序で文字列を構築することで正確な生成を達成する。
• 符号化の逆プロセスとして、累次的な減算とモジュロ演算を用いて整数から ICDFA へのマッピングを逆算する。
• ICDFA の宇宙を初期文字列セグメントに基づいてスライスすることで、最小オートマトンの並列カウントを実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ICDFA の一意な文字列表現を構築することで、正確な列挙と一様なランダム生成が可能になるか？
• RQ2 再帰的カウントと事前計算されたテーブルをどのように活用して、ICDFA の最適な符号化とランダム生成を実現できるか？
• RQ3 ICDFA の集合をどの程度まで分割することで、最小オートマトンおよび正則言語の並列カウントが可能になるか？
• RQ4 特に大きなアルファベットと状態数において、ICDFA のうち最小であるものの割合はどの程度か？
• RQ5 この文字列表現を拡張して、ICDFA 構造の効率的な符号化と復号化を可能にできるか？

主な発見

• k=2 および n=100 の場合、最小 ICDFA の割合は約80％であり、Nicaud の予想を裏付けている。
• k=3,5,7,9,11,13 および n=80 の場合、ICDFA の99.7％以上が最小であり、アルファベットサイズが大きくなるにつれて割合は増加する。
• ランダム生成器はすべての統計的検定に合格し、p値が 5933268.92456、5925676.75108、5935733.28172 であり、受理閾値 5938980.75468 よりも低い。
• 再帰的カウントを用いて、整数の集合 [0, B_{k,n}) と ICDFA 構造との間の全単射を確立することで、最適な符号化を達成している。
• 事前計算されたテーブルを用い、累次的な減算とモジュロ演算を繰り返すことで、整数から ICDFA 構造への逆マッピングを効率的に計算できる。
• 実装は正確な列挙と並列化されたカウントをサポートしており、小さなアルファベット上での異なる正則言語の数の正確な計算を可能にしている。