[論文レビュー] Aspects of Enumerative Geometry with Quadratic Forms

Marc Levine|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 41被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、特徴が 2 でない体 k 上で、モチーフ的安定ホモトピー圏を用いて、グロテンディーク＝ウット群 GW(k) に値をとるオイラー乗数を定義することで、古典的な Z-係数不変量を精緻化する、特徴が 2 でない体上の洗練された可換幾何を構築する。本稿では、チャウ＝ウットオイラー類とカテゴリカルオイラー乗数が GW(k) 内で一致することを確立し、一般化されたフェルマー超曲面および二次超曲面のオイラー乗数を計算する。その結果、古典的な公式を精緻化する GW(k) 内での明示的公式が得られ、カスおよびウィケルグレンが提起した二次超曲面に関する問いに答えている。

ABSTRACT

Using the motivic stable homotopy category over a field $k$, a smooth variety $X$ over $k$ has an Euler characteristic $\chi(X/k)$ in the Grothendieck-Witt ring $\operatorname{GW}(k)$. The rank of $\chi(X/k)$ is the classical $\mathbb Z$-valued Euler characteristic, defined using singular cohomology or \'etale cohomology, and the signature of $\chi(X/k)$ under a real embedding $\sigma:k o \mathbb R$ gives the topological Euler characteristic of the real points $X^\sigma(\mathbb R)$. We develop tools to compute $\chi(X/k)$, assuming $k$ has characteristic $ eq2$ and apply these to refine some classical formulas in enumerative geometry, such as formulas for the top Chern class of the dual, symmetric powers and tensor products of bundles, to identities for the Euler classes in Chow-Witt groups. We also refine the classical Riemann-Hurwitz formula to an identity in $\operatorname{GW}(k)$ and compute $\chi(X/k)$ for hypersurfaces in $\mathbb P^{n+1}_k$ defined by a polynomial of the form $\sum_{i=0}^{n+1}a_iX_i^m$; this latter includes the case of an arbitrary quadric hypersurface. This paper is a revision of "Toward an enumerative geometry with quadratic forms'' [M. Levine, Toward an enumerative geometry with quadratic forms, preprint 18 Oct 2018, arXiv:1703.03049v3].

研究の動機と目的

• 特徴が 2 でない体上での洗練された可換幾何を構築し、グロテンディーク＝ウット群 GW(k) に値をとる不変量を用いて、古典的な Z-係数不変量を拡張すること。
• GW(k) 内でチャウ＝ウットオイラー乗数とカテゴリカルオイラー乗数が等価であることを確立し、モチーフ的オイラー乗数の二つのアプローチを統合すること。
• 一般化されたフェルマー超曲面および二次超曲面のオイラー乗数を GW(k) 内で計算し、古典的な公式を精緻化する明示的公式を提供すること。
• カスおよびウィケルグレンが提起した、非特異的二次超曲面の GW(k) に値をとるオイラー乗数に関する問いに答えること。

提案手法

• カテゴリカルオイラー乗数 χ(X/k) ∈ GW(k) を定義するために、モチーフ的安定ホモトピー圏 SH(k) を用い、モレルによる EndSH(k)(Sk) ≅ GW(k) の同型を活用する。
• 捩れたミルナー＝ウット K-理論の層 H∗(X, KMW∗(L)) を用いて、チャウ＝ウットコホロロジー理論を適用し、チャウ＝ウットオイラー類 eCW(TX) ∈ HdimX(X, KMWdimX(ωX/k)) を定義する。
• [29] の Raksit との共同結果を用い、エルミート K-理論との比較により、GW(k) 内で χCW(X/k) = χ(X/k) の等式を確立する。
• 射 f: X → P1 に対して、GW(k) 内でのリーマン＝ハーウィッツの公式を適用し、局所的インデックスを GW(k(x)) 内の臨界点の寄与により計算し、トレース写像を介して押し出していく。
• 吹き上げ技法および退化公式を用い、特に ∑ aiXim = 0 で定義される超曲面に対して、χ( ˜X) と χ(X) および χ(Z) の関係を Z を特異点集合として確立する。
• 有限分離拡大 k(x)/k に対して、トレース形式を介した押し出し写像 p∗: GW(k(x)) → GW(k) を用いて、特にグローバル不変量を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかで射影的な多様体 X に対して、チャウ＝ウットオイラー乗数 χCW(X/k) は GW(k) 内でカテゴリカルオイラー乗数 χ(X/k) と一致するか？
• RQ2 古典的な可換幾何の公式（例えば、チャーン類、双対バンドル、対称冪など）は、GW(k) 内の恒等式に精緻化可能か？
• RQ3 ∑ aiXim = 0 で定義される一般化されたフェルマー超曲面 X = X(a0,…,an+1; m) ⊂ Pn+1k の GW(k) に値をとるオイラー乗数は何か？
• RQ4 Pn+1k 内の非特異的二次超曲面 Q の GW(k) に値をとるオイラー乗数は何か？また、これは古典的な公式を精緻化するか？
• RQ5 特徴が 2 でない体 k 上の奇数次元滑らかで射影的な多様体のオイラー乗数は、常に GW(k) のハイパーボリックイデアルに属するか？

主な発見

• 定理 1 および [29] の確認により、GW(k) 内でチャウ＝ウットオイラー乗数 χCW(X/k) とカテゴリカルオイラー乗数 χ(X/k) が等しいことが示された。
• m ≥ 1 かつ char(k) ∤ 2m であるとき、一般化されたフェルマー超曲面 X = X(a0,…,an+1; m) ⊂ Pn+1k のオイラー乗数 χ(X/k) は、n と m の偶奇に応じた GW(k) 内での明示的公式で与えられる。
• n が奇数のとき、χ(X/k) = An,m · H であり、An,m = 1/2 deg(cn(TX)) ∈ ℤ である。
• n が偶数で m が奇数のとき、χ(X/k) = An,m · H + ⟨m⟩ であり、An,m = 1/2 (deg(cn(TX)) − 1) ∈ ℤ である。
• n と m がともに偶数のとき、χ(X/k) = An,m · H + ⟨m⟩ + ⟨−mδ(X)⟩ であり、An,m = 1/2 (deg(cn(TX)) − 2) ∈ ℤ である。ここで δ(X) = ∏ ai である。
• Pn+1k 内の非特異的二次超曲面 Q に対して、判別式が δq であるとき、χ(Q/k) = (n+1)/2 · H（n が奇数のとき）、n/2 · H + ⟨2⟩ + ⟨−2δq⟩（n が偶数のとき）であり、カスおよびウィケルグレンの問いに答えている。