[論文レビュー] Aspects of Nonabelian Group Based Cryptography: A Survey and Open Problems

Benjamin Fine, Maggie Habeeb+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2011

Coding theory and cryptography参考文献 7被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、非アーベル群に基づく暗号技術を概説し、バレー群や多循環群のような非可換なプラットフォームを用いた公開鍵交換、デジタル署名、認証に焦点を当てる。主なプロトコルとしてAnshel-Anshel-GoldfeldおよびKo-Leeを紹介し、共役問題や共役者探索問題といったアルゴリズム的問題を通じてそのセキュリティを分析し、一般自由群性質および漸近的密度に関する理論的結果を提示し、分野における未解決問題を包括的に概説する。

ABSTRACT

Most common public key cryptosystems and public key exchange protocols presently in use, such as the RSA algorithm, Diffie-Hellman, and elliptic curve methods are number theory based and hence depend on the structure of abelian groups. The strength of computing machinery has made these techniques theoretically susceptible to attack and hence recently there has been an active line of research to develop cryptosystems and key exchange protocols using noncommutative cryptographic platforms. This line of investigation has been given the broad title of noncommutative algebraic cryptography. This was initiated by two public key protocols that used the braid groups, one by Ko, Lee et.al.and one by Anshel, Anshel and Goldfeld. The study of these protocols and the group theory surrounding them has had a large effect on research in infinite group theory. In this paper we survey these noncommutative group based methods and discuss several ideas in abstract infinite group theory that have arisen from them. We then present a set of open problems.

研究の動機と目的

• 従来の数論的公開鍵システムの代替として、非アーベル群に基づく暗号方式を概説すること。
• 共役問題や共役者探索問題といったアルゴリズム的問題に基づく、非アーベル群暗号のセキュリティ基盤を分析すること。
• 漸近的群論および一般複雑性の役割を、暗号プラットフォーム群の評価に考察すること。
• プラットフォーム群の選定、プロトコル設計、複雑性分析、量子耐性に関する未解決問題を特定し、提示すること。
• バレー群にとどまらず、多循環群やその他の非アーベル構造を含めた暗号的応用の範囲を拡張すること。

提案手法

• 非アーベル暗号プラットフォームの構築に、組合せ的群論および線形群論を基礎枠組みとして用いる。
• 非アーベル群に基づく暗号方式における核心的な困難性仮定として、共役者探索問題および共役性決定問題を適用する。
• 群の要素のランダムなインスタンスにおけるアルゴリズム的問題の解法の可能性を評価するために、漸近的密度および一般複雑性を用いる。
• ランダムサンプリング下での群プラットフォームのセキュリティを特徴付けるために、強一般自由群性質および一般自由群性質を導入する。
• 自由積および中心化子のランク1拡張を分析し、群が一般自由群性質を満たすための条件を同定する。
• 特にバレー群および多循環群において、有限指数部分群における一般性質の継承に関する結果をレビューおよび拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換暗号に適した非アーベル群プラットフォームとして最も適切なものは何か。有限群であるべきか、無限群であるべきか。
• RQ2 新しい非アーベル暗号方式（公開鍵交換、デジタル署名、認証プロトコルを含む）のセキュリティを形式的に証明する方法は何か。
• RQ3 多循環群およびその他の非アーベル群における共役問題および共役者探索問題の一般ケース複雑性は何か。
• RQ4 量子アルゴリズムを用いて、多循環群における探索共役問題を古典的手法よりもより効率的に解くことは可能か。
• RQ5 GAPのようなコンピュータ代数システムを、非アーベル群に基づく暗号方式の実装において実用的かつ安全に使用する方法は何か。

主な発見

• 強一般自由群性質は有限指数部分群においても保存され、すべてのバレー群はこの性質を満たす。
• 少なくとも1つの因子の位数が2より大きい群の自由積は、一般自由群性質を満たす。
• 群Bの非自明なUに対してB/N_B(U)が無限大である場合、Bの中心化子のランク1拡張は、強一般自由群性質を満たす。
• 継承定理により、有限指数部分群で一般的かつ適切な性質を満たすならば、その性質は全体の群に対しても一般的かつ適切である。
• 多循環群は複雑なアルゴリズム的挙動を示す。自由群における収集アルゴリズムおよびReidemeister-Schreierの書き換えの複雑性は、未解決の問題のままである。
• 有限可解群の位数を多項式時間で計算する量子アルゴリズムが存在するため、特定の群論的問題の解法において量子加速の可能性が示唆される。