[論文レビュー] Aspects of the Coarse-Grained-Based Approach to a Low-Relativistic Fractional Schrödinger Equation

José Weberszpil, Cresus F. L. Godinho+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2012

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、Guy Jumarieの修正リーマン＝リウヴィル分数階微分を用いて、低相対論的補正を組み込むために四階空間微分項を含む粗視化された分数階シュレーディンガー方程式を定式化する。分数階連続の方程式を導出し、量子ポテンシャルにおける相対論的補正の役割を特定するとともに、分数階ド・ブロイ関係および分数階ニュートン則を確立し、整数階極限（α=1）において標準的量子力学を回復する。

ABSTRACT

The main goal of this paper is to set up the coarse-grained formulation of a fractional Schrödinger equation that incorporates a higher (spatial) derivative term which accounts for relativistic effects at a lowest order. The corresponding continuity equation is worked out and we also identify the contribution of the relativistic correction the quantum potential in the coarse-grained treatment. As a consequence, in the classical regime, we derive the sort of fractional Newtonian law with the quantum potential included and the fractional conterparts of the De Broglies's energy and momentum relations.

研究の動機と目的

• 高階空間微分項を用いて低相対論的補正を含む粗視化された分数階シュレーディンガー方程式の構築を目的とする。
• 対応する分数階連続方程式を導出し、微分不可能でフラクタル的な時空における確率保存を検討する。
• 粗視化された枠組みにおける量子ポテンシャル内での相対論的補正の役割を調査する。
• ド・ブロイのエネルギーおよび運動量関係を分数階に一般化し、量子ポテンシャルを含む分数階ニュートン則を導出する。
• 整数階極限（α=1）において標準的量子力学と整合することを保証し、既知の結果の回復を通じて手法の妥当性を検証する。

提案手法

• 連続的で微分不可能な関数に対して定義され、定数の分数階微分がゼロとなるGuy Jumarieの修正リーマン＝リウヴィル（MRL）分数階微分を採用する。
• 運動エネルギーの低相対論的補正をモデル化するために、ハミルトニアンに四階空間微分項を導入する。
• 標準的確率流を分数階微積分に拡張することで、分数階連続方程式を導出し、微分不可能な時空における保存則を保証する。
• 位相関数S(x,t)を用いて分数階力学的エネルギーおよび運動エネルギー演算子を定義し、Γ(α+1)および分数階微分（階数α）を含む項を含める。
• 位相アンザッツS(x,t) = (kx)^α ± (ωt)^αを適用し、分数階ド・ブロイ関係を導出し、運動量およびエネルギー演算子を抽出する。
• 分数階ハミルトン＝ジャコビ方程式を用いて、全エネルギーを運動エネルギー、ポテンシャルエネルギー、および量子ポテンシャルの和として表現する：E_α = K_α + Q_α + V。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分不可能な粗視化された時空において、高階空間微分項を用いて低相対論的補正を含む分数階シュレーディンガー方程式をどのように定式化できるか？
• RQ2 分数階連続方程式の形は何か？ そして、この非局所的・分数階フレームワークにおいて確率保存はどのように維持されるか？
• RQ3 粗視化されたボーム力学的アプローチにおいて、相対論的補正は量子ポテンシャルにどのように現れるか？
• RQ4 ド・ブロイのエネルギーおよび運動量関係の分数階一般化は何か？ そして、α=1で標準形にどのように還元されるか？
• RQ5 量子ポテンシャルおよび分数階エネルギーを含む分数階ニュートン則を導出できるか？ また、α→1の極限において古典的力学とどのように関係するか？

主な発見

• 分数階連続方程式が導出され、整数階極限（α=1）において標準形に還元されることを示し、微分不可能な時空における確率保存を保証する。
• 分数階力学的エネルギーE_α(x,t)はE_α = -ℏ^{α-1} ∂^α S / ∂t^αとして定義され、S(x,t) = E·ℏ(f - t^α)のとき、Eℏ^αΓ(α+1)として定数となる。これは適切な位相選択のもとでエネルギー保存を示す。
• 分数階運動エネルギーK_α(x,t)は位相の二階および四階分数階微分の組み合わせとして表現され、四階項が相対論的補正を表す：K_α = M_{x,α}^2 (ℏ^{2α}/(2m^αℏ^2)) (Γ(α+1)k^α)^2 - (1/8)M_{x,α}^4 (ℏ^{4α}/(m^{3α}c^{2α}ℏ^4)) (Γ(α+1)k^α)^4。
• 運動量演算子はp_α = M_{x,α} Γ(α+1) ℏ^α k^αとして一般化され、α=1の極限でp = ℏkに還元され、標準的ド・ブロイ関係を回復する。
• 分数階エネルギー関係E_α = ℏ^α Γ(α+1) ω^αが導出され、α=1でE = ℏωに還元されることを確認し、標準的量子力学と整合していることを裏付ける。
• 分数階ニュートン則は暗黙的かつ導出され、量子ポテンシャルおよび分数階エネルギーを含む非局所的・記憶依存的力学を示唆し、分数階微積分と一致する。また、MONDに類似した理論との潜在的関連性も示唆される。