[論文レビュー] Assigning a Small Agreeable Set of Indivisible Items to Multiple Players

Warut Suksompong|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2016

Game Theory and Voting Systems参考文献 23被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、分割不能なアイテムの小さな集合を複数人のプレイヤーに割り当てる問題を検討する。各プレイヤーは、その集合をその補集合の任意の部分集合よりも好む。2人または3人のプレイヤーで応答的選好を持つ場合、多項式時間アルゴリズムを提示し、アイテム総数のおよそ半分のサイズの同意可能な部分集合を計算可能であり、部分加法的評価関数下での個々の福祉に対して2-近似を達成する。

ABSTRACT

We consider an assignment problem that has aspects of fair division as well as social choice. In particular, we investigate the problem of assigning a small subset from a set of indivisible items to multiple players so that the chosen subset is \emph{agreeable} to all players, i.e., every player weakly prefers the chosen subset to any subset of its complement. For an arbitrary number of players, we derive tight upper bounds on the size for which a subset of that size that is agreeable to all players always exists when preferences are monotonic. We then present polynomial-time algorithms that find an agreeable subset of approximately half of the items when there are two or three players and preferences are responsive. Our results translate to a 2-approximation on the individual welfare of every player when preferences are subadditive.

研究の動機と目的

• すべてのプレイヤーがその集合をその補集合の任意の部分集合よりも好むような、分割不能なアイテムの最小サイズの部分集合を特定すること。
• 2人または3人のプレイヤーが応答的選好を持つ場合、そのような同意可能な部分集合を効率的に計算するためのアルゴリズムを開発すること。
• 単調および応答的選好の仮定下での同意可能な部分集合の最悪ケースサイズを分析し、タイトな上界を確立すること。
• 部分集合の選好ではなく単一アイテムの選好のみが利用可能な場合、必然的に同意可能な部分集合を計算する計算複雑性を調査すること。
• 2人または3人以上のプレイヤーに拡張可能な効率的アルゴリズムの可能性を検討し、TFNPクラス内での潜在的な困難性を評価すること。

提案手法

• プレイヤーの部分集合に対する選好を完全な入力表現を必要とせずにアクセス可能な選好オракルモデルを用いる。
• 補集合同士の選好関係を比較することで、アイテム総数のおよそ半分のサイズの部分集合を選択する構成的アルゴリズムを適用する。
• 3人のプレイヤーの場合、ペアの補集合セット間における過半数の選好に基づき部分集合を選択し、応答的性質により合意を保証する。
• アイテム数が偶数か奇数かに応じたケース分析を行い、奇数の場合には再帰的または反復的調整を実施する。
• 応答的性質に依存して、弱く好まれる代替アイテムへの追加または置換が合意性を維持することを保証する。
• サイズの上限と選好の一貫性を活用することで、部分加法的評価関数下での個々の福祉に対する2-近似を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単調選好の下で、すべてのプレイヤーに対して常に同意可能な部分集合の最小サイズは何か？
• RQ2 2人または3人のプレイヤーが応答的選好を持つ場合、アイテム総数のおよそ半分のサイズの同意可能な部分集合を効率的に計算できるか？
• RQ3 単一アイテムの選好のみを用いて、必然的に同意可能な部分集合を計算することは可能か？その場合、最悪ケースでどの程度のサイズが必要か？
• RQ4 3人を超えるプレイヤーに対して同意可能な部分集合を計算する際の計算複雑性は何か？また、この問題はPPADやPLSといったTFNPの部分クラスに属するか？
• RQ5 1人のプレイヤーが所属するパーティのモデルを拡張し、複数人のプレイヤーが1つのパーティに所属する状況において、 envy-free 割り当てが達成可能か？

主な発見

• 単調選好を持つ任意の数のプレイヤーに対して、$ \left\lceil \frac{m}{2} \right\rceil + \frac{n-1}{2} $ 以下のサイズの部分集合は常に同意可能であり、この上限はタイトである。
• 2人または3人のプレイヤーが応答的選好を持つ場合、多項式時間アルゴリズムにより、サイズが $ \left\lceil \frac{m}{2} \right\rceil + 1 $ 以下の同意可能な部分集合を計算可能であり、これはアイテム総数のおよそ半分に相当する。
• 部分加法的評価関数下では、アルゴリズムが個々の福祉の2-近似を達成する。これは、各プレイヤーが最適割り当ての福祉の半分以上を獲得できることを意味する。
• 部分集合の選好が利用可能であっても、単一アイテムの選好のみを用いる場合、必然的に同意可能な部分集合は最大5つのアイテムを必要とすることが、6つのアイテムを持つ反例により示された。
• 部分集合の選好を用いる場合に比べ、単一アイテムの選好のみを用いて必然的に同意可能な部分集合を計算する問題は、6つのアイテムと3人のプレイヤーを持つ例により、より難しいことが示された。
• 単調性の下では解の存在は保証されるが、単一アイテムの選好のみに制限された場合に計算の困難さが生じ、これは著しく多くのアイテムを含むことにつながる可能性がある。