[論文レビュー] Associate and conjugate minimal immersions in MxR

Laurent Hauswirth, Ricardo Sá Earp+1 more|ArXiv.org|Dec 6, 2005

Holomorphic and Operator Theory参考文献 7被引用数 24

ひとこと要約

本稿は、双曲平面 $\mathbb{H}^2$ または 2-球面 $\mathbb{S}^2$ と $\mathbb{R}$ の積空間 $\mathbb{M}\times\mathbb{R}$ における関連および共役最小埋め込みを導入し、研究する。$\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ や $\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$ における最小的等角埋め込みは、等角計量とホフフ微分によって等長変換を除き一意に定まることを示す一意性定理を確立し、ワイエルシュトラス型表現を用いて関連族の存在を証明する。主な結果として、古典的なユークリッド対応に反する、関連でない等長な最小的表面が $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ に存在することを示す。

ABSTRACT

We consider minimal immersions in MxR. We study existence and uniqueness of associate and conjugate isometric immersions to a given minimal surface. We use the theory of univalent harmonic map between surfaces. Then we study the geometry of associate minimal vertical graphs. We prove that an associate surface of a vertical graph on a convex domain is a graph. In the classical theory it is a theorem of R. Krust.

研究の動機と目的

• 一般の2次元リーマン多様体 $\mathbb{M}$ に対して、$\mathbb{M}\times\mathbb{R}$ における関連最小埋め込みの概念を定義し、調査すること。
• $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ および $\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$ における最小的等角埋め込みに対して、一意性定理を確立し、埋め込みが環境の等長変換を除き、等角計量とホフフ微分によって一意に定まることを示すこと。
• $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ および $\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$ における最小的表面の関連族の存在と構造を調査すること。
• $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ における等長な最小的埋め込みが、特にねじり運動表面の文脈において、常に関連であるかどうかを検討すること。

提案手法

• 著者たちは、調和写像 $h: \Omega \to \mathbb{M}$ のホフフ微分 $Q(h)$ を用いて、$Q(h^*) = e^{2i\theta}Q(h)$ という条件により関連最小埋め込みを定義する。
• 最小的表面のワイエルシュトラス表現を用い、埋め込みを調和写像 $h$ と調和関数 $f$ に関連付ける。
• $\mathbb{M}$ 上の等角計量 $\sigma^2|dz|^2$ と $\mathbb{M}\times\mathbb{R}$ 上の誘導計量 $\sigma^2|dz|^2 + dt^2$ を用いて、環境空間の幾何を定義する。
• ホフフ微分 $Q(h) = (\sigma \circ h)^2 h_w \bar{h}_w (dw)^2$ は、等角型および関連関係を特徴付ける上で中心的な役割を果たす。
• 関連族の存在は、一般の存在結果（定理5）から導かれる。この定理は、ホフフ微分の解析的接続を用いて、1パラメータ族の最小的埋め込みを構成する。
• 特に、双曲的および放物的ねじり運動表面の不変性を用いて、例を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ におけるすべての等長な最小的埋め込みは、ユークリッドの場合と同様に、必然的に関連であるのだろうか？
• RQ2 一般の2次元リーマン多様体 $\mathbb{M}$ に対して、$\mathbb{M}\times\mathbb{R}$ における関連族の最小的埋め込みが存在する条件は何か？
• RQ3 $K_{\mathbb{M}} \leq 0$ のとき、最小的グラフの上に定義された領域が凸である場合に、その関連表面がグラフであることを保証するクルストの定理を $\mathbb{M}\times\mathbb{R}$ に一般化できるか？
• RQ4 ホフフ微分は、$\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ における最小的埋め込みの等角型および関連関係を決定する上で果たす役割は何か？
• RQ5 $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ に、定数ガウス曲率 $K \equiv -1$ を持つが、他のいかなる表面とも関連でない最小的表面は存在するのだろうか？

主な発見

• $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ に、定数ガウス曲率 $K \equiv -1$ を持つが、関連でない等長な最小的表面が存在する。これは、この文脈において古典的なユークリッド対応が成立しないことを示している。
• $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ 内の平面上の測地線の垂直シリンダーは、定数ガウス曲率 $K \equiv 0$ を持つ唯一の最小的表面である。
• 一意性定理（定理4）は、$\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ や $\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$ における最小的等角埋め込みが、環境の等長変換を除き、等角計量とホフフ微分によって一意に定まることを述べている。
• 定理5および推論8により、$\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ および $\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$ における最小的埋め込みの関連族が存在することが示された。
• $K_{\mathbb{M}} \leq 0$ のとき、クルストの定理は $\mathbb{M}\times\mathbb{R}$ で成り立つが、$\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$ では成り立たない。これは定理12における反例によって示されている。
• $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ に、関連でない等長な最小的埋め込みが存在する。特に、双曲的ねじり運動を用いて構成された、$K \equiv -1$ を持つ完全な最小的表面は、標準的な垂直シリンダー $Y(z) = (z,0)$ とは関連でない。