[論文レビュー] Associated Lah numbers and r-Stirling numbers

Hacène Belbachir, Imad Eddine Bousbaa|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2014

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 9被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、リストのサイズに制約を課した一般化された古典的ラーハ数としての関連ラーハ数を導入し、r-ラーハ数へと拡張する。r-スターリング数とr-ラーハ数の再帰的関係、母関数、畳み込み恒等式、組合せ的解釈を確立し、さまざまなパラメータについて明示的公式と数値表を提供する。

ABSTRACT

We introduce the associated Lah numbers. Some recurrence relations and convolution identities are established. An extension of the associated Stirling and Lah numbers to the r-Stirling and r-Lah numbers are also given. For all these sequences we give combinatorial interpretation, generating functions, recurrence relations, convolution identities. In the sequel, we develop a section on nested sums related to binomial coefficient.

研究の動機と目的

• リストのサイズに制約を課した古典的ラーハ数の一般化としての関連ラーハ数を定義し、研究すること。
• r-スターリング数の概念を、順序付きリストへの要素の分配に制限を加えたr-ラーハ数へと拡張すること。
• r-スターリング数およびr-ラーハ数の再帰的関係、母関数、畳み込み恒等式を導出すること。
• これらの一般化された数列に対する組合せ的解釈と明示的公式を提供すること。
• さまざまなパラメータについてr-ラーハ数およびr-スターリング数の値を計算し、表形式で提示することで、数値的検証および応用を支援すること。

提案手法

• 各リストに少なくともs個の要素を含める[ n ]の分割として関連ラーハ数を定義し、古典的ラーハ数を一般化する。
• r-ラーハ数を、r個の最初の要素が異なるリストに属するように制約を加えたr-スターリング数の順序付きリスト分割への拡張として定義する。
• r-ラーハ数の再帰的関係を確立：$\genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n}{k}_{r} = \genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n-1}{k-1}_{r} + (n+k-1)\genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n-1}{k}_{r}$。
• r-スターリング数およびr-ラーハ数の母関数を導出する。対数関数および指数関数の級数を含む指数母関数を含む。
• 組合せ的構成と指数母関数の技法を用いて、畳み込み恒等式および明示的公式を導出する。
• n、k、r、sのさまざまな値についてr-ラーハ数およびr-スターリング数の値を計算し、表形式で提示する。2-関連および3-関連のケースを含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リストの最小サイズ制約と初期要素のr制約を組み込んだラーハ数は、どのように一般化できるか？
• RQ2 r-ラーハ数およびr-スターリング数を特徴づける再帰的関係と母関数は何か？
• RQ3 s-関連制約を満たすr-ラーハ数に適用可能な明示的公式と組合せ的解釈は何か？
• RQ4 畳み込み恒等式と母関数は、r-スターリング数とr-ラーハ数の構造をどのように統一するか？
• RQ5 s=2,3およびr=2,3などの特定のパラメータについて、r-ラーハ数およびr-スターリング数の表に現れる数値とパターンは何か？

主な発見

• r-ラーハ数 $\genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n}{k}_{r}$ は初期条件 $\genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n}{k}_{r} = \delta_{n,k}$（$k=r$ のとき）を満たす再帰的関係 $\genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n}{k}_{r} = \genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n-1}{k-1}_{r} + (n+k-1)\genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n-1}{k}_{r}$ を満たす。
• s=2 のs-関連ラーハ数について、明示的公式は $\genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n}{k}^{(2)} = \frac{n!}{k!} \binom{n-k-1}{k-1}$ であり、数値表によって検証済み。
• 2-関連ラーハ数の二重母関数は $\sum_{n\geq 2}\sum_{k=1}^{\lfloor n/2\rfloor} \genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{n}{k}^{(2)} y^k \frac{x^n}{n!} = \exp\left(y\frac{x^2}{1-x}\right) - 1$ である。
• 数値表から $\genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{18}{4}^{(3)} = 1701649950$、$\genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{15}{5}^{(3)} = 66501388800$、および $\genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{20}{6}^{(3)} = 45350147082240000$ が得られた。
• 3-関連3-スターリング数の第二種について $\genfrac{\{}{\}}{0pt}{}{15}{5}^{(3)} = 732872448000$ であり、2-関連3-ラーハ数について $\genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{17}{5}_{2} = 37486665216000$ である。
• 3-関連3-ラーハ数 $\genfrac{\lfloor}{\rfloor}{0pt}{}{18}{6}^{(3)} = 5884534656000$ が得られ、再帰的関係と公式が複数のパrameterセットで一貫していることが確認された。